2005-湖南卷文-04 单-正方体中点面距离

本题导读

本题考查正方体中点到平面的距离。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 1，$E$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，则 $E$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A_1{B}_1\parallel AB$，$AB\subset$ 平面 $AB{C}_1{D}_1$，故 $A_1{B}_1\parallel$ 平面，其上各点到平面距离相等。
2. 求 $A_1$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离。
3. 建系求法向量，用距离公式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因 $A_1{B}_1\parallel AB$ 且 $AB\subset$ 平面 $AB{C}_1{D}_1$，故直线 $A_1{B}_1\parallel$ 平面 $AB{C}_1{D}_1$，其上各点到该平面的距离相等，只需求 $A_1$ 到平面的距离．以 $D$ 为原点、$DA$、$DC$、$D{D}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$D_1(0,0,1)$，$A_1(1,0,1)$，$E\left(1,\frac{1}{2},1\right)$．$\overrightarrow{AB}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{A{D}_1}=(-1,0,1)$，平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{D}_1}=(1,0,1)$，平面方程为 $x+z-1=0$．故 $E$ 到平面的距离 $d=\frac{\left|1+1-1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中点面距离

核心方法：$A_1{B}_1\parallel AB\subset$ 面 $AB{C}_1{D}_1$，E 到面距离 $=A_1$ 到面距离；法向量 $(1,0,1)$ 得 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的法向量是 $(1,0,1)$ 不是 $(1,-1,1)$——$A$、$B$ 同在面内则 $y$ 系数必为 0；线面平行转移点是与平面平行的直线上任一点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 点面距离

结论推广：$A_1{B}_1\parallel$ 面 $AB{C}_1{D}_1$，$E$ 与 $A_1$ 到面距离相等；法向量 $(1,0,1)$，$d=\frac{\sqrt{2}}{2}$

方法推广：正方体内点面距离优先用”线面平行转移”：与面内直线平行的棱上点到面距离处处相等

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-09 单-三视图表面积
• 2018-全国卷I理-12 单-正方体性质
• 2012-大纲卷(理)-04 单-空间命题真假