2005-湖北卷文-15 填-绝对值三角函数的周期与最值

本题导读

本题考查含绝对值三角函数的最小正周期与最值的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 函数 $y=|\sin x|\cos x-1$ 的最小正周期与最大值的和为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $g(x)=|\sin x|\cos x$，有 $g(x+2\pi )=g(x)$。
2. 验证 $\pi$ 不是周期（$g(x+\pi )=-g(x)$）。
3. 由 $|g(x)|⩽\frac{1}{2}$ 且 $x=\frac{\pi }{4}$ 取等，得最大值 $-\frac{1}{2}$。
4. 求和。

✅【答案】

Success

$2\pi -12$

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=|\sin x|\cos x$，则 $g(x+2\pi )=g(x)$，而 $g(x+\pi )=-g(x)$，故 $\pi$ 不是周期．函数的零点为 $\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$，若存在小于 $2\pi$ 的正周期，只能是 $\frac{\pi }{2}$、$\pi$ 或 $\frac{3\pi }{2}$；但 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\ne g\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$，故 $\frac{\pi }{2}$ 不是周期；$g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\ne g\left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$，故 $\pi$ 不是周期；$g\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}\ne g\left(\frac{9\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$，故 $\frac{3\pi }{2}$ 也不是周期．所以最小正周期为 $2\pi$．又 $g(x)=|\sin x|\cos x⩽|\sin x\cos x|⩽\frac{1}{2}$，且在 $x=\frac{\pi }{4}$ 取等，故原函数最大值为 $\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$．所求和为 $2\pi -\frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值三角函数的周期与最值

核心方法：$g(x)=|\sin x|\cos x$ 验周期候选 $\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$ 均否

避坑指南：最小正周期 $2\pi$（$\pi$ 是”反周期”）；最大值 $\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ 在 $x=\frac{\pi }{4}$ 取得

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角函数图象与性质

结论推广：$|\sin x|\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$；$|\sin x\cos x|⩽\frac{1}{2}$ 于 $x=\frac{\pi }{4}$ 取等

方法推广：含绝对值的三角函数：周期用候选举证（$\pi$ 是反周期不是周期），最值用绝对值不等式放缩

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I理-15 填-等比数列
• 2012-大纲卷文-15 填-辅助角求最值点
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