2004-湖北文-12 单-三角函数拟合

本题导读

本题考查正弦型函数与实际数据的拟合。核心在于从数据中读出均值、振幅、周期与初相。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 设 $y=f(t)$ 是某港口水的深度 $y$（米）关于时间 $t$（时）的函数，其中 $0⩽t⩽24$，下表是该港口某一天从 $0$ 时至 $24$ 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系： $\begin{array}{cccccccccc}t& 0& 3& 6& 9& 12& 15& 18& 21& 24\\ y& 12& 15.1& 12.1& 9.1& 11.9& 14.9& 11.9& 8.9& 12.1\end{array}$ 经长期观察，函数 $y=f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y=k+A\sin (\omega t+\phi )$ 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()

A. $y=12+3\sin \frac{\pi }{6}t$，$t\in [0,24]$　　　　　　　　B. $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{6}t+\pi \right)$，$t\in [0,24]$

C. $y=12+3\sin \frac{\pi }{12}t$，$t\in [0,24]$　　　　　　　D. $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{2}\right)$，$t\in [0,24]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 水深均值约 $12$，振幅 $3$，故 $k=12$，$A=3$。
2. $t=3,15$ 极大、$t=9,21$ 极小，周期 $12$，$\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$。
3. $t=0$ 时 $y=12$ 且随后上升，相位 $\phi =0$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由表中数据可知水深的平均值约为 $12$，最大值约为 $15$，最小值约为 $9$，所以模型中的 $k=12$，振幅 $A=3$.水深在 $t=3,15$ 时达到最大值，在 $t=9,21$ 时达到最小值，故周期约为 $12$，$\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$.又 $t=0$ 时水深为 $12$，且随后先上升，所以可取初相 $\phi =0$，因而模型为 $y=12+3\sin \frac{\pi }{6}t$，与选项 A 一致，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数拟合
2. 核心方法：水深均值 $12$、振幅 $3$，$t=3,15$ 极大、$t=9,21$ 极小，周期 $12$，$\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$；$t=0$ 时 $y=12$ 且随后上升，相位 $\phi =0$，$y=12+3\sin \frac{\pi }{6}t$
3. 避坑指南：周期由相邻两极大（或两极小）间隔定，非相邻极值间隔；相位看 $t=0$ 的初值与升降方向

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数的实际拟合，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：$y=k+A\sin (\omega t+\phi )$，由均值、振幅、周期、初相定参；从数据读均值、振幅、周期，初相看起点与走向

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-17 解-三角函数对称轴图象
• 2005-湖北卷文-15 填-绝对值三角函数的周期与最值
• 2004-全国卷IV文-14 填-三角函数周期定参