2005-全国卷I文-17 解-三角函数对称轴图象

本题导读

本题考查正弦型函数的对称轴与单调区间，以及五点法作图。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 设函数 $f(x)=\sin (2x+\phi )$（$-\pi <\phi <0$），$y=f(x)$ 图象的一条对称轴是直线 $x=\frac{\pi }{8}$．

(1)求 $\phi$；

(2)求函数 $y=f(x)$ 的单调增区间；

(3)画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上的图象．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对称轴处正弦取最值：$2\cdot \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，结合 $-\pi <\phi <0$ 取 $k=-1$。
2. 增区间：$-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{3\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$，解出 $x$ 的范围。
3. 列关键点表（最值点与零点），描点连线画出 $[0,\pi ]$ 上的图象。

✅【答案】

Success

(1) $\phi =-\frac{3\pi }{4}$；(2) 单调增区间为 $\left[k\pi +\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{5\pi }{8}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）；(3) 图象见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）因 $x=\frac{\pi }{8}$ 是图象的对称轴，正弦在对称轴处取得最值，故 $2\times \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，$k\in \mathbf{Z}$，即 $\phi =\frac{\pi }{4}+k\pi$． 由 $-\pi <\phi <0$，取 $k=-1$，得 $\phi =-\frac{3\pi }{4}$． 【注】原卷题干印作"$f(x)=\sin (2\pi +\phi )$"，系排印错误：若为常数则不存在对称轴且无法确定 $\phi$，答案节与通行版本均作 $\sin (2x+\phi )$，按此录入． （2）$f(x)=\sin \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)$．由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{3\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$， 得 $\frac{\pi }{8}+k\pi \le x\le \frac{5\pi }{8}+k\pi$． 故单调增区间为 $\left[k\pi +\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{5\pi }{8}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）． （3）列表： | $x$ | $0$ | $\frac{\pi }{8}$ | $\frac{3\pi }{8}$ | $\frac{5\pi }{8}$ | $\frac{7\pi }{8}$ | $\pi$ | | $2x-\frac{3\pi }{4}$ | $-\frac{3\pi }{4}$ | $-\frac{\pi }{2}$ | $0$ | $\frac{\pi }{2}$ | $\pi$ | $\frac{5\pi }{4}$ | | $y$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 描点连线即得 $[0,\pi ]$ 上的图象：从 $\left(0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 降至最低点 $\left(\frac{\pi }{8},-1\right)$，升至最高点 $\left(\frac{5\pi }{8},1\right)$，再降回 $\left(\pi ,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数对称轴图象

核心方法：对称轴 $x=\frac{\pi }{8}$ 代入：$2\cdot \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，结合 $-\pi <\phi <0$ 得 $\phi =-\frac{3\pi }{4}$；增区间 $[k\pi +\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{5\pi }{8}]$

避坑指南：正弦的对称轴处函数值取 $\pm 1$（不是 $0$）；画图象先列关键点表（最值点与零点），$[0,\pi ]$ 内共六个关键点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正弦型函数的图象与性质，教材”三角函数的图象与性质”

结论推广：一般化：$y=\sin (\omega x+\phi )$ 的对称轴满足 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，据此定 $\phi$；五点法列表画图

方法推广：对称轴条件给出最值点方程，结合 $\phi$ 的范围取唯一的 $k$；画图先列关键点表

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-09 单-三角图象平移
• 2008-天津文-06 单-三角图象平移伸缩
• 2009-大纲Ⅰ文-10 单-余弦对称中心
• 2008-浙江文-07 单-三角图象交点