2004-全国卷III文-02 单-绝对值三角函数周期

本题导读

本题考查三角函数的周期，以及绝对值对周期的影响。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 函数 $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$ 的最小正周期是()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

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1. $\sin \frac{x}{2}$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$。
2. 取绝对值把负半周期翻折为正。
3. 周期减半为 $2\pi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\sin \frac{x}{2}$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$.取绝对值后，负半周期的图象翻折到 $x$ 轴上方，周期减半，故 $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$ 的最小正周期为 $2\pi$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角函数周期
2. 核心方法：$y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$：$\sin \frac{x}{2}$ 周期 $4\pi$，取绝对值后负半波翻折，周期减半为 $2\pi$
3. 避坑指南：绝对值把负半周期翻折为正，周期减半；但 $\sin \frac{x}{2}$ 本身周期 $4\pi$，别直接选 $4\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数的周期与绝对值，教材”三角函数的图象与性质”
2. 结论推广: 一般化：$|\sin (\omega x+\phi )|$ 的周期是 $\sin (\omega x+\phi )$ 的一半；绝对值翻折负半波，周期减半；先求原函数周期再除以 2

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷文-05 单-绝对值三角函数的周期
• 2005-湖北卷文-15 填-绝对值三角函数的周期与最值
• 2007-大纲Ⅱ文-03 单-含绝对值三角函数图象