2005-江西卷文-05 单-绝对值三角函数的周期

本题导读

本题考查含绝对值的三角函数的周期性，以及用定义验证最小正周期。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 设函数 $f(x)=\sin 3x+|\sin 3x|$，则 $f(x)$ 为()

A. 周期函数，最小正周期为 $\frac{\pi }{3}$　　B. 周期函数，最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$

C. 周期函数，最小正周期为 $2\pi$　　D. 非周期函数

🔍【思路分析】

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1. 分段：$\sin 3x⩾0$ 时 $f=2\sin 3x$，$\sin 3x<0$ 时 $f=0$。
2. 验 $f(x+\frac{2\pi }{3})=f(x)$，排除更小周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $\sin 3x⩾0$ 时 $f(x)=2\sin 3x$；当 $\sin 3x<0$ 时 $f(x)=0$．由 $f(x+\frac{2\pi }{3})=\sin (3x+2\pi )+|\sin (3x+2\pi )|=f(x)$，知 $\frac{2\pi }{3}$ 是周期．而 $f(x+\frac{\pi }{3})=-\sin 3x+|\sin 3x|$，在 $\sin 3x>0$ 时为 $0\ne f(x)$，故 $\frac{\pi }{3}$ 不是周期；更小的周期更不可能保持”正弦段映射到正弦段”．所以最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$，选 B． 注：部分网络简答版参考答案印 A，系未验证 $\frac{\pi }{3}$ 所致，按答案册与复算录 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值三角函数的周期

核心方法：分段化简后逐个验证 $f(x+T)=f(x)$

避坑指南：$\sin 3x<0$ 时 $f(x)=0$，图象是”半正弦+平台”；$\frac{\pi }{3}$ 不是周期（正弦段映射到平台），别凭 $\omega =3$ 猜 $\frac{2\pi }{3}$ 之外的最小值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角函数的图象与性质

结论推广：$y=\sin \omega x+|\sin \omega x|$ 型”半波整流”函数：正半周保持、负半周归零，周期不变

方法推广：含绝对值的三角函数先分段去绝对值再画草图，周期用定义 $f(x+T)=f(x)$ 验证

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-全国卷理-05 单-正弦型函数的图象
• 1984-全国卷理-05 单-半角象限判定与算术平方根本质
• 2020-新课标II文-01 单-集合运算