2005-山东卷文-15 填-线性规划最值点

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的可行域，以及目标函数最值点的确定。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 设 $x$、$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽5,\\ 3x+2y⩽12,\\ 0⩽x⩽3,\\ 0⩽y⩽4,\end{array}$ 则使得目标函数 $z=6x+5y$ 取得最大值的点 $(x,y)$ 是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求可行域全部顶点。
2. 顶点代入 $z=6x+5y$。
3. 最大者即所求。

✅【答案】

Success

$(2,3)$

✍【详细解析】

Abstract

可行域的顶点依次为 $(0,0)$，$(3,0)$，$\left(3,\frac{3}{2}\right)$，$(2,3)$，$(1,4)$，$(0,4)$．在这些顶点处，目标函数值分别为 $0$，$18$，$\frac{51}{2}$，$27$，$26$，$20$．最大值为 $27$，对应的点为 $(2,3)$，所以填 $(2,3)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值点

核心方法：顶点代入 $z=6x+5y$ 逐一比较

避坑指南：可行域顶点要找全（6 个）；$z$ 最大在 $(2,3)$ 得 $27$，别漏 $y⩽4$ 与 $3x+2y⩽12$ 的交点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 二元一次不等式组

结论推广：可行域顶点 $(0,0),(3,0),(3,\frac{3}{2}),(2,3),(1,4),(0,4)$；$z=6x+5y$ 于 $(2,3)$ 取 $27$

方法推广：线性规划最值在顶点取得：顶点找全、逐一代入，含多个约束时易漏交点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-15 填-线性规划
• 2018-全国卷III文-15 填-线性规划
• 2014-大纲卷文-15 填-线性规划