2004-浙江理-05 单-线性规划的可行域

本题导读

本题考查线性规划的可行域，以及目标函数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 设 $z=x-y$，式中变量 $x$ 和 $y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x+y-3⩾0\\ x-2y⩾0\end{array}$，则 $z$ 的最小值为 ()

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. -3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：画出边界直线 $x+y-3=0$ 和 $x-2y=0$，根据不等号方向确定可行域所在的区域。
2. 分析目标函数几何意义：将目标函数变形为斜截式 $y=x-z$，可知 $z$ 的相反数 $-z$ 代表直线在 $y$ 轴上的截距。要使 $z$ 最小，即让截距 $-z$ 最大。
3. 寻找最优解顶点：平移直线 $y=x-z$，当截距最大时，直线经过可行域的边界交点（顶点），联立求出该顶点坐标并代入计算。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求可行域的顶点坐标 联立边界直线方程： $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ x-2y=0\end{array}$ 由第二式得 $x=2y$，代入第一式： $2y+y-3=0⟹3y=3⟹y=1$ 进而得： $x=2\times 1=2$ 故两条边界直线的交点（即可行域的顶点）为 $M(2,1)$。

• 第二步：分析可行域分布与平移目标函数 满足 $x+y-3⩾0$ 表示直线 $x+y-3=0$ 右上方的区域； 满足 $x-2y⩾0$ 表示直线 $x-2y=0$ 右下方的区域。 这两个半平面区域的交集构成一个无界的 V 形可行域，其唯一个顶点为 $M(2,1)$。

  将目标函数 $z=x-y$ 变形为： $y=x-z$ 这是一组斜率为 1，在 $y$ 轴上截距为 $-z$ 的平行直线系。 当直线 $y=x-z$ 向上平移时，截距 $-z$ 变大，从而目标函数值 $z$ 变小。 观察图象，当直线向上平移至经过可行域的唯一顶点 $M(2,1)$ 时，截距 $-z$ 达到最大极限，此时 $z$ 取得最小值。

• 第三步：代入顶点坐标计算最小值 将最优解顶点 $M(2,1)$ 的坐标代入目标函数 $z=x-y$ 中： $z_{\min }=2-1=1$

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组对应的平面区域确定、目标函数的截距转换规律。
2. 核心方法：数形结合图解法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆 $z$ 与截距的正负对应关系。目标函数为 $y=x-z$，截距是 $-z$。平移时，直线越往上，截距越大，意味着 $z$ 越小。如果误以为直线越往下 $z$ 越小，就会判断错误。本题区域由于在右侧无限延伸，若往下平移直线则截距趋于 $-\infty$， $z$ 趋于 $+\infty$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考线性规划基础客观题。
2. 结论推广: 对于形如 $z=Ax+By(B<0)$ 的线性目标函数，变形为 $y=-\frac{A}{B}x+\frac{z}{B}$。由于分母 $B$ 为负数，其最小值 $z_{\min }$ 必然在截距 $\frac{z}{B}$ 达到最大（即直线平移到最上方临界点）时取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-15 填-线性规划最值点
• 2012-新课标Ⅰ(理)-14 填-线性规划
• 1987-广东文-03 单-函数的定义域