2004-广东卷理-10 单-线性规划的可行域

本题导读

本题考查线性规划的可行域，以及目标函数与几何意义。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 变量 $x$、 $y$ 满足下列条件： $\{\begin{array}{l}2x+y\ge 12\\ 2x+9y\ge 36\\ 2x+3y=24\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$，则使 $z=3x+2y$ 的值最小的 $(x,y)$ 是 ()

A. $(4.5,3)$　　　　B. $(3,6)$　　　　C. $(9,2)$　　　　D. $(6,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由于约束条件中包含一条严格的等式方程 $2x+3y=24$，说明可行域并不是一个二维的平面多边形，而是被确定在直线 $2x+3y=24$ 的某一段线段上。我们需要把其他几个不等式约束 $2x+y\ge 12$ 与 $2x+9y\ge 36$ 作为裁剪边界，求出该线段的端点（即交点）坐标。
2. 第二步逻辑：分别将等式方程与另外两个不等式边界联立求出两个关键交点。将交点坐标分别代入目标函数 $z=3x+2y$ 中，由于线性规划的最值必然在可行域的边界顶点处取得，通过直接计算比对两点输出值的大小，较小的那一组坐标即为所求。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 化简约束条件寻找可行域的顶点线段： 已知变量必须满足等式约束： $L_0:2x+3y=24⟹y=-\frac{2}{3}x+8\text{（式1）}$ 说明可行域分布在直线 $L_0$ 上。同时受到以下两个不等式区域的截断限制： $L_1:2x+y\ge 12\text{（式2）}$ $L_2:2x+9y\ge 36\text{（式3）}$

• 求解直线 $L_0$ 与两截断边界的交点坐标：

  1. 求 $L_0$ 与 $L_1$ 的交点 $P_1$： 联立方程组： $\{\begin{array}{l}2x+3y=24\\ 2x+y=12\end{array}$ 两式相减消去 $2x$ 得： $2y=12⟹y=6$。 代入可得 $2x+6=12⟹2x=6⟹x=3$。 故第一个交点为： $P_1(3,6)$．

  2. 求 $L_0$ 与 $L_2$ 的交点 $P_2$： 联立方程组： $\{\begin{array}{l}2x+3y=24\\ 2x+9y=36\end{array}$ 两式相减消去 $2x$ 得： $6y=12⟹y=2$。 代入可得 $2x+3(2)=24⟹2x=18⟹x=9$。 故第二个交点为： $P_2(9,2)$．

• 验证两交点是否满足其余所有的约束： 将 $P_1(3,6)$ 代入（式3）： $2(3)+9(6)=6+54=60\ge 36$，且满足 $x\ge 0,y\ge 0$，故 $P_1$ 为合法边界点。 将 $P_2(9,2)$ 代入（式2）： $2(9)+2=18+2=20\ge 12$，且满足 $x\ge 0,y\ge 0$，故 $P_2$ 亦为合法边界点。 综上可知，可行域为连接 $P_1(3,6)$ 与 $P_2(9,2)$ 的空间直线段。

• 代入顶点比对目标函数 $z$ 的最小值： 将两端点坐标分别代入目标方程 $z=3x+2y$ 中：

  • 对于顶点 $P_1(3,6)$： $z_1=3\times 3+2\times 6=9+12=21$
  • 对于顶点 $P_2(9,2)$： $z_2=3\times 9+2\times 2=27+4=31$

  比较大小可知： $21<31$。因此，当 $(x,y)=(3,6)$ 时，目标函数 $z$ 取得内的最小值 21。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带有等式约束的退化线性规划问题（可行域由多边形面退化为一维线段）；二元一次方程组的精确求解；利用顶点最值定理代入判别。
2. 核心方法：图解法与顶点代入法。
3. 避坑指南：
   • 极易产生思维定势，误以为可行域一定是一个闭合的平面多边形。必须要敏锐捕捉到约束条件中存在一个等式符号（$=$），这意味着可行域在二维空间中已经降维退化为一条线段，无需求解所有直线的交点，只需无条件选择该等式直线与其他直线的交点进行边界拦截即可。
   • 目标函数是求最小值，部分学生在算完 $z_1=21$ 与 $z_2=31$ 后由于马虎，直接看成了求最大值而错选了 C，属于严重的非技术性失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自线性规划板块的经典基础题，考查目标函数在可行域上的最值。
2. 结论推广: 一般地，设线性规划的目标函数为 $z=\alpha x+\beta y$ ($\alpha >0,\beta >0$)。若约束条件中包含核心等式 $Ax+By=C$（其中 $\frac{A}{B}\ne \frac{\alpha }{\beta }$），则该一维线段上的最值必然在两端截断点处取得。设截断出的两端点坐标分别为 $P_1(x_1,y_1)$ 与 $P_2(x_2,y_2)$，通过对比目标直线的斜率 $-\frac{\alpha }{\beta }$ 与约束直线的斜率 $-\frac{A}{B}$ 的相对大小，即可在无需代入计算的条件下，直接利用几何投影趋势秒杀最值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-15 填-线性规划最值点
• 2012-新课标Ⅰ(理)-14 填-线性规划
• 1987-广东文-03 单-函数的定义域