2005-天津卷理-14 填-角平分线向量构造模型

本题导读

本题考查角平分线向量构造模型，以及向量单位化。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,1)$ 和点 $B(-3,4)$，若点 $C$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上且 $|\overrightarrow{OC}|=2$，则 $\overrightarrow{OC}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化为向量基底：已知 $\overrightarrow{OA}=(0,1)$， $\overrightarrow{OB}=(-3,4)$。
2. 构造单位向量：计算两向量的模长，将它们分别化为对应的单位向量 ${\vec{e}}_1=\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$ 和 ${\vec{e}}_2=\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$。
3. 利用平分线定理：根据菱形对角线平分内角的几何性质，向量 ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ 的方向即为 $\angle AOB$ 的平分线方向。
4. 单位化并数乘：将该方向向量单位化，再乘以给定模长 2，即可求得 $\overrightarrow{OC}$ 的坐标。

✅【答案】

Success

$\left(-\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{3\sqrt{10}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，对应的坐标向量为： $\overrightarrow{OA}=(0,1),\overrightarrow{OB}=(-3,4)$

首先计算两向量的模长： $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{0^2+1^2}=1$ $|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

分别求出 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 方向上的单位向量 ${\vec{e}}_A$ 和 ${\vec{e}}_B$： ${\vec{e}}_A=\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}=(0,1)$ ${\vec{e}}_B=\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$

根据向量加法的平行四边形法则，当邻边长度相等（即均为单位向量）时，平行四边形退化为菱形，此时对角线方向平分两邻边的夹角。 因此， $\angle AOB$ 的平分线方向向量可表示为： $\vec{v}={\vec{e}}_A+{\vec{e}}_B=(0,1)+\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=\left(-\frac{3}{5},\frac{9}{5}\right)$

为了方便计算，将方向向量 $\vec{v}$ 同乘以 5 得到简化方向向量 ${\vec{v}}^{\prime }=(-3,9)$，进一步化简为比例方向向量： $\vec{u}=(-1,3)$

因为点 $C$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，所以向量 $\overrightarrow{OC}$ 与 $\vec{u}$ 共线且同向。 计算向量 $\vec{u}$ 的模长： $|\vec{u}|=\sqrt{(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{10}$

由于已知 $|\overrightarrow{OC}|=2$，故将方向向量 $\vec{u}$ 单位化后乘以 2 即可： $\overrightarrow{OC}=2\cdot \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=2\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}=\left(-\frac{2}{\sqrt{10}},\frac{6}{\sqrt{10}}\right)=\left(-\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{3\sqrt{10}}{5}\right)$

故答案为： $\left(-\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{3\sqrt{10}}{5}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：角平分线向量构造模型（$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$）、向量单位化。
2. 核心方法：单位向量菱形平铺法。
3. 避坑指南：一是极易忽略 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 模长不等（分别为 1 和 5），如果直接将两向量相加 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(-3,5)$ 作为平分线方向，将导致完全错解。必须先化为单位向量再相加；二是注意由于是角“平分线”，方向是唯一的射线，故系数必须为正，不需要加双重正负号“$\pm$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“空间向量与立体几何”以及必修第二册“平面向量”中关于向量运算几何意义的探究性高频压轴填空题。 2.结论推广: 设 $\vec{a},\vec{b}$ 为两非零共起点向量，则： （1） $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 指向两向量内角平分线方向； （2） $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 指向两向量外角平分线方向。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 11.07 角平分线模型 类题演练 (Links)
• 2005-全国卷II理-08 单-平面两点间的距离公式
• 2012-湖北卷文-13 填-向量单位向量与夹角