2005-上海卷理-22 解-平面向量的坐标运算

本题导读

本题作为全卷的压轴大题，融合了平面几何变换、向量坐标、周期函数轨迹平移以及复杂数列求和。核心考查点关于点对称的坐标递推规律，利用相关点法和周期性求解原曲线解析式，并通过构造符号交错级数考查错位相减法的综合运算。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 在直角坐标平面中，已知点 $P_1(1,2)$， $P_2(2,2^2)$， $P_3(3,2^3)$， $\dots$， $P_n(n,2^n)$，其中 $n$ 是正整数.对平面上任一点 $A_0$，记 $A_1$ 为 $A_0$ 关于点 $P_1$ 的对称点， $A_2$ 为 $A_1$ 关于点 $P_2$ 的对称点， $\dots$， $A_n$ 为 $A_{n-1}$ 关于点 $P_n$ 的对称点.

(1)求向量 $\overrightarrow{A_0{A}_2}$ 的坐标；

(2)当点 $A_0$ 在曲线 $C$ 上移动时，点 $A_2$ 的轨迹是函数 $y=f(x)$ 的图象，其中 $f(x)$ 是以 3 为周期的周期函数，且当 $x\in (0,3]$ 时， $f(x)=\lg x$.求以曲线 $C$ 为图象的函数在 $(1,4]$ 上的解析式；

(3)对任意偶数 $n$，用 $n$ 表示向量 $\overrightarrow{A_0{A}_n}$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：设 $A_0(x,y)$，利用中点坐标公式分别递推出 $A_1,A_2$ 的坐标表达式，再利用终点坐标减起点坐标算出向量 $\overrightarrow{A_0{A}_2}$。
2. 第（2）问：由第（1）问可知 $A_0$ 与 $A_2$ 的坐标平移关系（相关点法）。利用周期性将 $x_2\in (1,4]$ 转换到已知区间 $(0,3]$ 内求出 $f(x_2)$ 的对应表达式，再代回 $A_0$ 的坐标中完成解析式映射。
3. 第（3）问：将偶数步对称变换一般化，列出坐标递推方程组。利用加减消去自变量后，坐标将转化为关于 $n$ 的交错型代数求和式。横坐标通过等差级数配平，纵坐标利用错位相减法求和。

✅【答案】

Success

(1) $\overrightarrow{A_0{A}_2}=(2,4)$

(2) $y=\lg (x-1)-4$，$x\in (1,4]$

(3) $\overrightarrow{A_0{A}_n}=\left(n,\frac{2^{n+2}-4}{3}\right)$（$n$ 为偶数）

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 设 $A_0(x,y)$。 因为 $A_1$ 为 $A_0$ 关于点 $P_1(1,2)$ 的对称点，由中点坐标公式得： $\frac{x+x_{A1}}{2}=1⟹x_{A1}=2-x$ $\frac{y+y_{A1}}{2}=2⟹y_{A1}=4-y$ 同理， $A_2$ 为 $A_1$ 关于点 $P_2(2,2^2)$ 的对称点： $x_{A2}=2\times 2-x_{A1}=4-(2-x)=x+2$ $y_{A2}=2\times 4-y_{A1}=8-(4-y)=y+4$ 所以 $A_2$ 的坐标为 $(x+2,y+4)$。 则向量 $\overrightarrow{A_0{A}_2}=(x_{A2}-x,y_{A2}-y)=(2,4)$。

（2）解： 设 $A_0(x_0,y_0)$ 为曲线 $C$ 上任意一点，对应的对称点为 $A_2(x_2,y_2)$。 由（1）可知： $x_2=x_0+2$， $y_2=y_0+4⟹x_0=x_2-2$， $y_0=y_2-4$。 因为 $A_2$ 的轨迹是 $y=f(x)$ 的图象，所以 $y_2=f(x_2)$。 代入可得以曲线 $C$ 为图象的函数解析式满足： $y_0=f(x_0+2)-4$。

要供求 $x_0\in (1,4]$ 时的解析式： 则 $x_2=x_0+2\in (3,6]$。 由于 $f(x)$ 是以 3 为周期的函数，所以 $f(x_2)=f(x_2-3)$。 当 $x_2\in (3,6]$ 时， $x_2-3\in (0,3]$，属于已知区间。 故 $f(x_2)=f(x_2-3)=\lg (x_2-3)$。

将 $x_2=x_0+2$ 代回，得： $y_0=\lg (x_0+2-3)-4=\lg (x_0-1)-4$ 将自变量符号换回 $x$，得曲线 $C$ 在 $(1,4]$ 上的解析式为： $y=\lg (x-1)-4,x\in (1,4]$

（3）解： 设 $A_0(x_0,y_0)$，各个对称点的坐标通项满足中点递推关系： $x_k+x_{k-1}=2k\text{(1)}$ $y_k+y_{k-1}=2\cdot 2^k\text{(2)}$

由于 $n$ 为偶数，对 ① 式从 $k=1$ 到 $n$ 进行正负交错相加： $x_n=2n-x_{n-1}=2n-(2(n-1)-x_{n-2})=\dots$ 由于每一对相邻变换满足 $x_k-x_{k-2}=2k-2(k-1)=2$， 因此，每经过 2 步变换，横坐标恒增加 2。 由于一共进行了 $n$ 步（$\frac{n}{2}$ 个两步对），所以总增量为： $x_n-x_0=2\times \frac{n}{2}=n⟹x_n-x_0=n$

对 ② 式同理，由于 $y_k-y_{k-2}=2\cdot 2^k-2\cdot 2^{k-1}=2\cdot 2^{k-1}=2^k$。 则进行累加： $y_n-y_0=(y_2-y_0)+(y_4-y_2)+\cdots +(y_n-y_{n-2})$ $=2^2+2^4+\cdots +2^n$ 该式为首项为 4，公比为 4 的等比数列求和，项数为 $\frac{n}{2}$： $y_n-y_0=\frac{4\left(1-4^{\frac{n}{2}}\right)}{1-4}=\frac{4(1-2^n)}{-3}=\frac{4}{3}(2^n-1)$

从而可得向量 $\overrightarrow{A_0{A}_n}$ 的坐标为： $\overrightarrow{A_0{A}_n}=(x_n-x_0,y_n-y_0)=\left(n,\frac{4}{3}(2^n-1)\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点变换的代数迭代、相关点轨迹转化法、周期性区间平移、等比数列分步偶数项求和。
2. 核心方法：坐标迭代递推法、自变量区间平移归位法。
3. 避坑指南：一是第二问在转换自变量时，注意轨迹方程 $y=f(x)$ 刻画的是 $A_2$ 的动点轨迹，要球原曲线 $A_0$ 的方程，必须先通过 $x_2=x_0+2$ 的对应转换关系做好桥梁过渡，不能将自变量直接等同；二是第三问求纵坐标变化时，符号交错叠加容易出错，将其按每 2 步合并为标准正项等比数列可以确保运算的准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题基于仿射几何中“中心对称变换群”的乘积性质。在平面上，连续进行偶数次中心对称变换，其最终效果完全等价于一个纯粹的“平移变换”，平移向量的大小仅与各对称中心的相对位置有关，与初始起点无关。 2.结论推广: 设点 $A$ 连续关于 $n$ 个定点 $P_1,P_2,\dots ,P_n$ 进行中心对称变换。若 $n$ 为偶数，则最终得到的向量 $\overrightarrow{A_0{A}_n}$ 是一个与起点 $A_0$ 无关的常向量，其通项表达公式为： $\overrightarrow{A_0{A}_n}=2{\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{n-k}\overrightarrow{O{P}_k}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 18.08 一般曲线与方程
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型 类题演练 (Links)
• 2008-江西卷理-13 填-向量
• 2005-天津卷理-14 填-角平分线向量构造模型