2005-全国卷II理-08 单-平面两点间的距离公式

本题导读

本题核心考查平面向量的共线表示与初等几何定理的交汇。利用两点间距离公式求出三角形边长，通过角平分线定理确定分点比例，最终结合向量方向得出结果。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 已知点 $A(\sqrt{3},1)$，$B(0,0)$，$C(\sqrt{3},0)$.设 $\angle BAC$ 的平分线 $AE$ 与 $BC$ 相交于 $E$，那么有 $\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{CE}$，其中 $\lambda$ 等于()

A. 2　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $-3$　　　　　　　D. $-\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用两点间距离公式求出 $△ABC$ 中线段 $AB$ 与 $AC$ 的长度。
2. 运用三角形内角平分线定理，求得点 $E$ 分底边 $BC$ 所成的线段比例。
3. 结合点 $E$ 在线段 $BC$ 上的几何位置，分析向量 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{CE}$ 的模长关系与方向异同，确定 $\lambda$ 的值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据平面两点间距离公式，计算 $△ABC$ 的相关边长： $|AB|=\sqrt{(\sqrt{3}-0{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{3+1}=2$ $|AC|=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{0+1}=1$

因为 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的内角平分线且与 $BC$ 交于 $E$，由角平分线定理得： $\frac{|BE|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{2}{1}=2$

由此可知，点 $E$ 位于线段 $BC$ 上，且将线段分为两部分，满足： $|BC|=|BE|+|EC|=2|EC|+|EC|=3|EC|$

分析向量方向： 向量 $\overrightarrow{BC}$ 的方向为从 $B$ 指向 $C$； 向量 $\overrightarrow{CE}$ 的方向为从 $C$ 指向 $E$。 因为点 $E$ 在线段 $BC$ 内部，所以 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{CE}$ 的方向相反。 结合模长关系 $|\overrightarrow{BC}|=3|\overrightarrow{CE}|$，可得： $\overrightarrow{BC}=-3\overrightarrow{CE}$

因此，$\lambda =-3$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：内角平分线定理 $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}$、共线向量的数乘比例。
2. 核心方法：数形结合法，通过长度比例向向量线性变换转换。
3. 避坑指南：

• 方向误判：本题极易漏看向量的方向。部分考生算得长度比为 3 后，忽略了 $\overrightarrow{BC}$（向右）与 $\overrightarrow{CE}$（向左）互为相反向量，从而错选为正数。
• 字母顺序：审题时需看清目标是 $\overrightarrow{CE}$ 还是 $\overrightarrow{EC}$，避免由于分点定义的惯性思维导致结果颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将初中平面几何的经典比例定理与高中向量的数乘运算融为一体。避开了传统的繁琐建系求交点坐标法，强调对几何本质属性的考查。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $AE$ 为 $\angle A$ 的内角平分线交 $BC$ 于 $E$，记边长 $|AB|=c,|AC|=b$，根据角平分线定理可得 $\overrightarrow{BE}=\frac{c}{b}\overrightarrow{EC}$。若将其转化为本题结构 $\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{CE}$，则通用代数解析式可推广为：$\lambda =-\frac{b+c}{b}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.07 角平分线模型
• 09.04 平面向量的坐标运算 类题演练 (Links)
• 2005-全国卷II文-09 单-角平分线定比分点
• 2005-天津卷理-14 填-角平分线向量构造模型