2005-全国卷II文-09 单-角平分线定比分点

本题导读

本题考查角平分线定理与向量的数乘。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 已知点 $A(\sqrt{3},1)$，$B(0,0)$，$C(\sqrt{3},0)$．设 $\angle BAC$ 的平分线 $AE$ 与 $BC$ 相交于 $E$，那么有 $\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{CE}$，其中 $\lambda$ 等于()

A. $2$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $-3$　　　　　　　D. $-\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $AB=2$，$AC=1$，$BC=\sqrt{3}$。
2. 角平分线定理 $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=2$，得 $EC=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{CE}$ 方向相反，且 $|\overrightarrow{BC}|=3|\overrightarrow{CE}|$，故 $\lambda =-3$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $A(\sqrt{3},1)$，$B(0,0)$，$C(\sqrt{3},0)$，得 $AB=2$，$AC=1$，$BC=\sqrt{3}$． 由角平分线定理 $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=2$，且 $BE+EC=BC=\sqrt{3}$，解得 $EC=\frac{\sqrt{3}}{3}$． 向量 $\overrightarrow{CE}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 方向相反，且 $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=3|\overrightarrow{CE}|$， 故 $\overrightarrow{BC}=-3\overrightarrow{CE}$，即 $\lambda =-3$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：角平分线定比分点

核心方法：角平分线定理 $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=2$，$BC=\sqrt{3}$ 得 $EC=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{CE}$ 反向且长度比 $3$，故 $\lambda =-3$

避坑指南：注意 $\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{CE}$ 中两向量反向，$\lambda$ 取负；$|\overrightarrow{BC}|=3|\overrightarrow{CE}|$ 故 $\lambda =-3$，别漏负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：角平分线定理与向量的综合

结论推广：角平分线定理 $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}$；两向量反向时 $\lambda$ 为负

方法推广：先算长度比，再判断方向定符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-05 单-向量定比分点
• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角