2004-湖北文-02 单-定比分点求参

本题导读

本题考查有向线段的定比分点，以及点在直线上的判定。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知点 $M_1(6,2)$ 和 $M_2(1,7)$，直线 $y=mx-7$ 与线段 $M_1{M}_2$ 的交点 $M$ 分有向线段 $M_1{M}_2$ 的比为 $3:2$，则 $m$ 的值为()

A. $-\frac{3}{2}$　　　　　　B. $-\frac{2}{3}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 内分点 $M=\frac{2M_1+3M_2}{2+3}=\frac{2(6,2)+3(1,7)}{5}=(3,5)$。
2. $M$ 在 $y=mx-7$ 上：$5=3m-7$。
3. $m=4$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

点 $M$ 分有向线段 $M_1{M}_2$ 的比为 $3:2$，即 $M_{1}M:M{M}_2=3:2$，由定比分点坐标公式得 $M=\frac{2M_1+3M_2}{5}=\frac{2(6,2)+3(1,7)}{5}=\left(\frac{15}{5},\frac{25}{5}\right)=(3,5)$.因为 $M$ 在直线 $y=mx-7$ 上，所以 $5=3m-7$，解得 $m=4$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定比分点求参
2. 核心方法：内分点 $M=\frac{2M_1+3M_2}{5}=(3,5)$，代入 $y=mx-7$ 得 $5=3m-7$，$m=4$
3. 避坑指南：分比 $3:2$ 对应 $\lambda =\frac{M_{1}M}{M{M}_2}=\frac{3}{2}$，$M=\frac{M_1+\lambda M_2}{1+\lambda }$；注意 $2M_1+3M_2$ 分母是 $2+3=5$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于有向线段的定比分点，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$M$ 分 $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ 成 $\lambda$，则 $M=\frac{M_1+\lambda M_2}{1+\lambda }$；定比分点坐标公式代入直线方程解参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.11 定比分点公式及定比点差法

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-09 单-角平分线定比分点
• 2008-重庆文-04 单-定比分点与向量比
• 2007-大纲Ⅱ文-06 单-向量定比分点