2005-全国卷I文-21 解-等比数列错位相减

本题导读

本题考查等比数列的通项，以及错位相减法求数列前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 设正项等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=\frac{1}{2}$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $2^{10}{S}_{30}-(2^{10}+1)S_{20}+S_{10}=0$．

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项；

(2)求 $\{n{S}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $q\ne 1$ 时 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入条件，提取公因式后化为关于 $q^{10}$ 的二次方程。
2. 解得 $q^{10}=2^{-10}$（$q=1$ 代入原式检验不合），故 $q=\frac{1}{2}$，$a_n=\frac{1}{2^n}$。
3. $S_n=1-\frac{1}{2^n}$，$T_n=\sum k-\sum \frac{k}{2^k}$，对 $\sum \frac{k}{2^k}$ 错位相减。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=\frac{1}{2^n}$；(2) $T_n=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n+2}{2^n}-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公比为 $q$．若 $q=1$，则 $S_n=\frac{n}{2}$，代入条件：$2^{10}\times 15-(2^{10}+1)\times 10+5=5\times 2^{10}-5\ne 0$，不合题意，故 $q\ne 1$． 此时 $S_n=\frac{\frac{1}{2}(1-q^n)}{1-q}$，代入 $2^{10}{S}_{30}-(2^{10}+1)S_{20}+S_{10}=0$，两边除以 $\frac{1}{2(1-q)}$： $2^{10}(1-q^{30})-(2^{10}+1)(1-q^{20})+(1-q^{10})=0$， 整理得 $-2^{10}{q}^{30}+(2^{10}+1)q^{20}-q^{10}=0$， 即 $q^{10}\left[2^{10}(q^{10}{)}^2-(2^{10}+1)q^{10}+1\right]=0$． 因 $q>0$，$q^{10}\ne 0$，设 $t=q^{10}$，则 $2^{10}{t}^2-(2^{10}+1)t+1=0$， 分解得 $(2^{10}t-1)(t-1)=0$，故 $t=1$（即 $q=1$，已舍）或 $t=2^{-10}$． 由 $q>0$ 得 $q=\frac{1}{2}$，故 $a_n=a_1{q}^{n-1}=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2^n}$． （2）$S_n=\frac{\frac{1}{2}\left(1-2^{-n}\right)}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$，故 $n{S}_n=n-\frac{n}{2^n}$． $T_n={\sum }_{k=1}^{n}k-{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{n(n+1)}{2}-{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{2^k}$． 记 $A={\sum }_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}$， 则 $\frac{A}{2}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots +\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}$， 两式相减：$\frac{A}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n}{2^{n+1}}$， 故 $A=2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$． 【注】答案册此问印作"$T_n=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{n}{2^n}-2$"，系指数排印错误：取 $n=1$ 验证，$T_1=1S_1=\frac{1}{2}$，而该式给出 $-\frac{1}{4}$；正确结果为 $T_n=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n+2}{2^n}-2$（即 $\frac{1}{2^{n+1}}$ 应为 $\frac{1}{2^{n-1}}$），按复算结果录入． 故 $T_n=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n+2}{2^n}-2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列错位相减

核心方法：代入求和公式化简得 $q^{10}=2^{-10}$，$q=\frac{1}{2}$，$a_n=\frac{1}{2^n}$；$T_n=\sum k{S}_k$ 中 $S_n=1-\frac{1}{2^n}$，对 $\sum \frac{k}{2^k}$ 错位相减

避坑指南：$q=1$ 的情形要代入原式检验后舍去；错位相减后各项对齐相减，末项 $-\frac{n}{2^{n+1}}$ 别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列求和公式与错位相减法，教材”数列求和”综合题

结论推广：一般化：$\{n{S}_n\}$ 型求和，先把 $S_n$ 化为”常数 $-$ 等比”结构，再对 $\sum \frac{k}{2^k}$ 错位相减

方法推广：含 $q$ 的高次条件用求和公式代入化简；错位相减写出 $A$ 与 $\frac{A}{2}$ 对齐相减，末项符号别错

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-07 单-等比数列基本量
• 2008-新课标Ⅰ文-08 单-等比数列求和比
• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合
• 2006-全国卷I文-17 解-等比数列双解通项