2006-全国卷I文-17 解-等比数列双解通项

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于基本量法列方程求公比。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，$a_3=2$，$a_2+a_4=\frac{20}{3}$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公比为 $q$，则 $a_2=\frac{a_3}{q}=\frac{2}{q}$，$a_4=a_{3}q=2q$。
2. 由 $a_2+a_4=\frac{20}{3}$ 列方程 $\frac{2}{q}+2q=\frac{20}{3}$。
3. 解得 $q$ 的两个值，分别求通项。

✅【答案】

Success

$a_n=2\cdot 3^{n-3}$ 或 $a_n=18\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列的公比为 $q$（$q\ne 0$），由 $a_3=2$，得 $a_2=\frac{a_3}{q}=\frac{2}{q}$，$a_4=a_{3}q=2q$． 由 $a_2+a_4=\frac{20}{3}$，得 $\frac{2}{q}+2q=\frac{20}{3}$，两边同乘 $3q$： $6+6q^2=20q$，即 $3q^2-10q+3=0$，解得 $q=3$ 或 $q=\frac{1}{3}$． 当 $q=3$ 时，$a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{2}{9}$，故 $a_n=\frac{2}{9}\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^{n-3}$； 当 $q=\frac{1}{3}$ 时，$a_1=\frac{a_3}{q^2}=18$，故 $a_n=18\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$． （两式亦可统一为 $a_n=2\cdot 3^{3-n}$ 或 $a_n=2\cdot 3^{n-3}$ 的分段表达．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列双解通项

核心方法：设公比 $q$，$a_2=\frac{2}{q},a_4=2q$，$\frac{2}{q}+2q=\frac{20}{3}$ 得 $q=3$ 或 $\frac{1}{3}$，分别求通项

避坑指南：等比数列通项用 $a_3$ 为中转，$a_2=\frac{a_3}{q}$；方程有两解都要写出，别漏 $q=\frac{1}{3}$ 的一支

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于等比数列的基本量，教材”等比数列”通项公式

结论推广: 一般化：已知 $a_m$ 与某项和的关系，设公比 $q$，用 $a_n=a_m{q}^{n-m}$ 表达各项

方法推广: 等比数列用中间项 $a_3$ 表达相邻项，$a_2=\frac{a_3}{q},a_4=a_{3}q$，列方程求 $q$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-07 单-等比数列基本量
• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合
• 2008-新课标Ⅰ文-08 单-等比数列求和比