2004-湖南文-20 解-等比数列与错位求和

本题导读

本题考查等比数列与错位相减求和。核心在于由 $a_1,2a_7,3a_4$ 成等差确定公比，再用等比求和与错位相减法。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$ 且公比 $q$ 不等于 $1$ 的等比数列，$S_n$ 是其前 $n$ 项的和，且 $a_1,2a_7,3a_4$ 成等差数列.

(1) 证明：$12S_3,S_6,S_{12}-S_6$ 成等比数列；

(2) 求和 $T_n=a_1+2a_4+3a_7+\cdots +n{a}_{3n-2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_1,2a_7,3a_4$ 等差 $\Rightarrow 4a{q}^6=a+3a{q}^3$，得 $4q^6-3q^3-1=0$，$q^3=-\frac{1}{4}$。
2. $S_3,S_6,S_{12}-S_6$ 代求和公式，得 $12S_3,S_6,S_{12}-S_6$ 公比 $\frac{1}{16}$。
3. $T_n=a{\sum }_{k=1}^{n}k{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{k-1}$，用错位相减或对等比和求导。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $T_n=\frac{16a}{25}\left[1-(n+1){\left(-\frac{1}{4}\right)}^n+n{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n+1}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

若 $a=0$，则各项均为 $0$，$12S_3=S_6=S_{12}-S_6=0$，$T_n=0$，两问结论均成立，以下设 $a\ne 0$. 由 $a_1,2a_7,3a_4$ 成等差数列，得 $2\cdot 2a_7=a_1+3a_4$，即 $4a{q}^6=a+3a{q}^3$，约去 $a$ 得 $4q^6-3q^3-1=0$.令 $u=q^3$，则 $4u^2-3u-1=(4u+1)(u-1)=0$，因 $q\ne 1$，故 $q^3=-\frac{1}{4}$，从而 $q^6=\frac{1}{16}$. （1）由等比求和公式，$S_3=\frac{a(1-q^3)}{1-q}=\frac{5a}{4(1-q)}$，$S_6=\frac{a(1-q^6)}{1-q}=\frac{15a}{16(1-q)}$，$S_{12}-S_6=\frac{a{q}^6(1-q^6)}{1-q}=\frac{15a}{256(1-q)}$.故 $12S_3=\frac{15a}{1-q}$，$S_6=\frac{1}{16}(12S_3)$，$S_{12}-S_6=\frac{1}{16}{S}_6$，即 $12S_3,S_6,S_{12}-S_6$ 成等比数列，公比 $\frac{1}{16}$. （2）对 $k=1,2,\cdots ,n$，$a_{3k-2}=a{q}^{3k-3}=a(q^3{)}^{k-1}=a{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{k-1}$，故 $T_n=a{\sum }_{k=1}^{n}k{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{k-1}$.令 $r=-\frac{1}{4}$，由 ${\sum }_{k=1}^{n}k{r}^{k-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right)=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$，代入 $r=-\frac{1}{4}$ 得 $T_n=\frac{16a}{25}\left[1-(n+1){\left(-\frac{1}{4}\right)}^n+n{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n+1}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列与错位求和
2. 核心方法：$a_1,2a_7,3a_4$ 等差 $\Rightarrow 4a{q}^6=a+3a{q}^3$，$4q^6-3q^3-1=0$，$q^3=-\frac{1}{4}$；（1）$S_3,S_6,S_{12}-S_6$ 代公式得 $12S_3,S_6,S_{12}-S_6$ 公比 $\frac{1}{16}$；（2）$T_n=a\sum k(-\frac{1}{4}{)}^{k-1}$，错位/求导求和
3. 避坑指南：等比求和 $S_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$；$q^3=-\frac{1}{4}$ 是关键；$T_n$ 是”等差乘等比”型，用错位相减或求导

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等比数列与错位求和，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：等差乘等比求和用错位相减；等差条件定公比；等差中项列方程定 $q^3$，错位相减求和

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-21 解-等比数列错位相减
• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合