2004-湖南文-08 单-向量模的最值

本题导读

$\vec{a}$ 是单位圆上的动点，$\vec{b}$ 是定向量，问 $|2\vec{a}-\vec{b}|$ 的最大值与最小值。模里既有减法又有系数，先平方，三角函数会自己并成一项。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，向量 $\vec{b}=(\sqrt{3},-1)$，则 $|2\vec{a}-\vec{b}|$ 的最大值、最小值分别是()

A. $4\sqrt{2},0$　　　　　　B. $4,4\sqrt{2}$　　　　　　C. $16,0$　　　　　　D. $4,0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2\vec{a}-\vec{b}=(2\cos \theta -\sqrt{3},2\sin \theta +1)$。
2. 模平方 $=(2\cos \theta -\sqrt{3}{)}^2+(2\sin \theta +1{)}^2=8+8\sin (\theta -\frac{\pi }{3})$。
3. 范围 $[0,16]$，模 $|2\vec{a}-\vec{b}|\in [0,4]$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

计算 $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(2\cos \theta -\sqrt{3}{)}^2+(2\sin \theta +1{)}^2=4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+3+1-4\sqrt{3}\cos \theta +4\sin \theta =8+4(\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta )=8+8\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$.当 $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时取得最大 $16$，当其为 $-1$ 时取得最小 $0$，故 $|2\vec{a}-\vec{b}|$ 的最大值为 $4$，最小值为 $0$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模的最值
2. 核心方法：$2\vec{a}-\vec{b}=(2\cos \theta -\sqrt{3},2\sin \theta +1)$，模平方 $=4+1+4-4\sqrt{3}\cos \theta +4\sin \theta =8+8\sin (\theta -\frac{\pi }{3})$，最大 $16$、最小 $0$，模最大 $4$、最小 $0$
3. 避坑指南：一种是平方后辅助角合并，另一种是三角不等式直接放缩：$|2\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=2$，于是 $0⩽|2\vec{a}-\vec{b}|⩽4$。两条路都对，但用三角不等式时必须补一句”两端都能取到”——$2\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向时得 $0$，反向时得 $4$，而 $\vec{a}$ 是单位圆上的动点，这两种朝向都摆得出来。漏掉这一步，写出的只是上下界，不叫最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题是”模的平方”与”辅助角公式”的联合考查。$\vec{a}$ 取遍单位圆，$2\vec{a}$ 的终点就扫出一个半径 $2$ 的圆，$|2\vec{a}-\vec{b}|$ 正是”定点到动圆上点”的距离。

结论推广：一般地，$\vec{a}$ 扫过半径为 $r$ 的圆、$\vec{b}$ 固定时，$|k\vec{a}-\vec{b}|$ 的取值范围是 $\left[||k|r-|\vec{b}||,|k|r+|\vec{b}|\right]$。本题 $k=2$、$r=1$、$|\vec{b}|=2$，得 $[0,4]$。

方法推广：模的最值有两条通法——平方后化成三角函数（本题得 $8+8\sin (\theta -\frac{\pi }{3})$），或把模读成两点间距离用几何。两法都须交代等号能否取到，缺这一步就只是”界”而不是”最值”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2006-江西文-13 填-向量模最大值
• 2005-湖北卷文-03 单-向量模与不等式
• 2008-浙江文-16 填-向量模长范围