2006-江西文-13 填-向量模最大值

本题导读

本题考查平面向量的模，以及坐标运算。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(1,\sin \theta )$，$\vec{b}=(1,\cos \theta )$，则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最大值为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a}-\vec{b}=(0,\sin \theta -\cos \theta )$。
2. $|\vec{a}-\vec{b}|=|\sin \theta -\cos \theta |=\sqrt{2}\left|\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)\right|$。
3. 因 $\left|\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)\right|⩽1$，最大值为 $\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\vec{a}-\vec{b}=(1-1,\sin \theta -\cos \theta )=(0,\sin \theta -\cos \theta )$， 故 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{0^2+(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}=|\sin \theta -\cos \theta |$。 又 $\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$， 所以 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}\left|\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)\right|⩽\sqrt{2}$，当 $\left|\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)\right|=1$ 时取等，最大值为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模最大值

核心方法：坐标作差配辅助角

避坑指南：$|\vec{a}-\vec{b}|=|\sin \theta -\cos \theta |=\sqrt{2}|\sin (\theta -\frac{\pi }{4})|⩽\sqrt{2}$；横坐标相同只算纵坐标差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自向量模的坐标运算与三角恒等变换

结论推广: $|\vec{a}-\vec{b}|$ 化三角函数推广到任意同横坐标向量

方法推广: 横坐标相减为零简化为纵坐标差

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-03 单-向量坐标线性运算
• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角