2005-湖北卷文-03 单-向量模与不等式

本题导读

本题考查向量坐标运算与模的求解，以及二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(-2,2)$，$\vec{b}=(5,k)$．若 $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ 不超过 5，则 $k$ 的取值范围是()

A. $[-4,6]$　　　　B. $[-6,4]$　　　　C. $[-6,2]$　　　　D. $[-2,6]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a}+\vec{b}=(3,k+2)$。
2. $9+(k+2{)}^2⩽25$。
3. $(k+2{)}^2⩽16$ 解得 $-6⩽k⩽2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{a}+\vec{b}=(3,k+2)$，得 $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|⩽5⟺9+(k+2{)}^2⩽25⟺(k+2{)}^2⩽16$．所以 $-4⩽k+2⩽4$，即 $-6⩽k⩽2$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模与不等式

核心方法：$\vec{a}+\vec{b}=(3,k+2)$ 模平方 $⩽25$

避坑指南：模的条件是平方不等式 $(k+2{)}^2⩽16$；开方得 $-4⩽k+2⩽4$，别忘整体平移

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 平面向量

结论推广：$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+(k+2{)}^2⩽25\Rightarrow k\in [-6,2]$

方法推广：向量模的约束化坐标平方不等式，本质是二次不等式求解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-03 单-向量模长
• 2016-全国卷II理-03 单-向量
• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直