2004-湖北文-01 单-集合交集运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及元素与集合的关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 设 $A=\{x\mid x=\sqrt{5k+1},k\in \mathbb{N}\}$，$B=\{x\mid x⩽6,x\in \mathbb{Q}\}$，则 $A\cap B$ 等于()

A. $\{1,4\}$　　　　　　B. $\{1,6\}$　　　　　　C. $\{4,6\}$　　　　　　D. $\{1,4,6\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x=\sqrt{5k+1}$ 为有理数且 $5k+1$ 为整数，故 $x$ 必为整数，且 $x⩽6$。
2. 验 $x=1,2,3,4,5,6$：$k=\frac{x^2-1}{5}\in \mathbb{N}$ 得 $x=1,4,6$。
3. $A\cap B=\{1,4,6\}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x=\sqrt{5k+1}$ 为有理数，而 $5k+1$ 是整数，所以 $x$ 必为整数（一个整数的平方根若为有理数则必为整数）．又 $x⩽6$，只需考察 $x=1,2,3,4,5,6$.由 $k=\frac{x^2-1}{5}\in \mathbb{N}$，可得 $x=1,4,6$，从而 $A\cap B=\{1,4,6\}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集运算
2. 核心方法：$A=\{x\mid x=\sqrt{5k+1},k\in \mathbb{N}\}$，$x$ 为有理数且 $5k+1$ 为整数，故 $x$ 必为整数；$x⩽6$，验 $x=1,2,3,4,5,6$，$k=\frac{x^2-1}{5}\in \mathbb{N}$ 得 $x=1,4,6$，$A\cap B=\{1,4,6\}$
3. 避坑指南：$\sqrt{5k+1}$ 是有理数当且仅当 $5k+1$ 是完全平方数，勿漏 $x=1$（$k=0\in \mathbb{N}$）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于集合交集与元素判定，教材”集合”
2. 结论推广: 一般化：$\sqrt{m}$ 为有理数 $⟺m$ 为完全平方数；由无理数表数反推整数平方，再逐个验证

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-01 单-集合交集与补集运算
• 2004-北京卷文-01 单-集合交集运算
• 2006-北京文-01 单-集合交集解不等式