2004-浙江理-19 解-面面垂直的性质定理

本题导读

本题考查面面垂直的性质定理。核心在于传统几何证明法、空间直角坐标系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 如图，已知正方形 $ABCD$ 和矩形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直， $AB=\sqrt{2}$， $AF=1$， $M$ 是线段 $EF$ 的中点.

(1) 求证： $AM\parallel$ 平面 $BDE$；

(2) 求二面角 $A-DF-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（几何法思路）：记 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$。利用 $M$ 为 $EF$ 的中点及正方形、矩形的几何对称性，可以证明四边形 $AMEO$ 为平行四边形，从而得到 $AM\parallel EO$，实现线面平行的证明。
2. 建系准备：由于面 $ABCD\perp$ 面 $ACEF$，且矩形中 $FA\perp AC$，可知 $FA\perp$ 平面 $ABCD$。以正方形对角线交点 $O$ 为原点，射线 $OB,OC$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向，过 $O$ 作平面 $ABCD$ 的垂线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。
3. 第二问（向量法思路）：写出各关键点的坐标，分别求出平面 $ADF$ 和平面 $BDF$ 的法向量，利用法向量夹角公式计算二面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 证明： $AM\parallel$ 平面 $BDE$（几何法）

设正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，连接 $OE$。 因为 $ABCD$ 是正方形，所以 $O$ 是 $AC$ 的中点。 在矩形 $ACEF$ 中，由于 $EF\parallel AC$ 且 $EF=AC$， $M$ 是 $EF$ 的中点， 所以 $FM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AC=AO$。 又因为 $FM\parallel AO$，所以四边形 $AOMF$ 是平行四边形，从而有 $AM\parallel OF$ 且 $AM=OF$。 同时，由于 $ME\parallel OC$ 且 $ME=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AC=OC$， 所以四边形 $MCEO$ 是平行四边形，从而有 $ME\parallel OC$。 进一步地，在四边形 $AMEO$ 中，由 $ME\parallel AO$ 且 $ME=AO$（均等于 $\frac{1}{2}AC$）， 可知四边形 $AMEO$ 是平行四边形。 因此： $AM\parallel OE$ 又因为 $AM\not\subset$ 平面 $BDE$，且 $OE\subset$ 平面 $BDE$， 根据线面平行的判定定理， $AM\parallel$ 平面 $BDE$。

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建系与坐标化

由于平面 $ABCD\perp$ 平面 $ACEF$，交线为 $AC$。 在矩形 $ACEF$ 中， $FA\perp AC$，根据面面垂直的性质定理， $FA\perp$ 平面 $ABCD$。 设正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 交于点 $O$，则 $OA,OB,OC,OD$ 两两垂直。 以 $O$ 为坐标原点，射线 $OB,OC$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

因为正方形边长 $AB=\sqrt{2}$，所以对角线 $AC=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=2$，故 $OA=OB=OC=OD=1$。 又 $AF=1$，且 $FA\perp$ 平面 $ABCD$，所以各点坐标为： $O(0,0,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,0)$ 由于 $\overrightarrow{AF}=(0,0,1)$，故 $F(0,-1,1)$。 由于 $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AF}=(0,0,1)$，故 $E(0,1,1)$。

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(2) 求二面角 $A-DF-B$ 的大小

根据点坐标可求出相关向量： $\overrightarrow{DA}=(1,-1,0),\overrightarrow{DF}=(1,-1,1),\overrightarrow{DB}=(2,0,0)$

• 求平面 $ADF$ 的一个法向量 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DA}=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DF}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1-y_1=0\\ x_1-y_1+z_1=0\end{array}$ 令 $x_1=1$，得 $y_1=1,z_1=0$。 ${\vec{n}}_1=(1,1,0)$

• 求平面 $BDF$ 的一个法向量 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{DB}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{DF}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x_2=0\\ x_2-y_2+z_2=0\end{array}$ 由第一式得 $x_2=0$，代入第二式得 $y_2=z_2$。 令 $y_2=1$，得 $z_2=1$。 ${\vec{n}}_2=(0,1,1)$

• 计算两个法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{1\times 0+1\times 1+0\times 1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

观察几何原图可知，二面角 $A-DF-B$ 的平面角为锐角。 因此，二面角的大小为 $60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）。

答：二面角 $A-DF-B$ 的大小为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质（线面垂直转换）、平行四边形法证线面平行、法向量求解二面角。
2. 核心方法：空间直角坐标系几何代数化法。
3. 避坑指南：
   • 建系时务必找准两两垂直的基底。本题直接以正方形对角线交点 $O$ 建系最为简便，因为 $OB\perp OC$ 且侧向垂直。如果直接以 $A$ 点建系，由于 $\angle DAB=90^{\circ }$ 但 $\angle CAB=45^{\circ }$，在处理与面 $ACEF$ 相关的坐标时容易因角度错乱发生计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考立体几何压轴大题，融合了面面垂直环境下的建系和向量化求角。
2. 结论推广: 面面垂直模型（墙面倾倒模型）中，过其中一个面内垂直于交线的直线必定垂直于另一个面。在此类题目中，以交线上的垂足作为空间直角坐标系的原点，是解决立体几何计算最具通用性的“工业解法”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-18 解-四棱锥垂直与角
• 2006-四川文-20 解-长方体线面平行二面角
• 2006-辽宁文-19 解-折叠问题线面平行二面角