2005-全国卷I文-18 解-四棱锥垂直与角

本题导读

本题考查面面垂直、异面直线所成角与二面角的求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为直角梯形，$AB\parallel DC$，$\angle DAB=90^{\circ }$，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PA=AD=DC=\frac{1}{2}AB=1$，$M$ 是 $PB$ 的中点．

(1)证明：面 $PAD\perp$ 面 $PCD$；

(2)求 $AC$ 与 $PB$ 所成的角；

(3)求面 $AMC$ 与面 $BMC$ 所成二面角的大小．

🔍【思路分析】

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1.（1）$DC\parallel AB$，$AD\perp AB$ 得 $AD\perp DC$；又 $PA\perp$ 底面得 $PA\perp DC$，故 $DC\perp$ 面 $PAD$，从而面面垂直。 2.（2）以 $A$ 为原点建系，用 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$。 3.（3）求平面 $AMC$ 与平面 $BMC$ 的法向量，夹角余弦取绝对值后结合图形定钝角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；(2) $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$；(3) $\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

【注】原卷题干印作"$PA=AD=DE=\frac{1}{2}AB=1$"，其中"$DE$"系"$DC$"的排印错误（图中无 $E$ 点，直角梯形 $AB\parallel DC$ 且 $AD\perp AB$，依答案节与通行版本按 $DC=\frac{1}{2}AB=1$ 录入，即 $AB=2$，$AD=DC=PA=1$）． （1）因 $AB\parallel DC$，$\angle DAB=90^{\circ }$，故 $AD\perp AB$，$AD\perp DC$； 又 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，$DC\subset$ 底面，故 $PA\perp DC$． $PA\cap AD=A$，且都在平面 $PAD$ 内，故 $DC\perp$ 平面 $PAD$． 又 $DC\subset$ 平面 $PCD$，故平面 $PAD\perp$ 平面 $PCD$． （2）以 $A$ 为原点、$AD$、$AB$、$AP$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系（$AD$ 沿 $x$ 轴正方向、$AB$ 沿 $y$ 轴正方向），则 $A(0,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(1,1,0)$，$D(1,0,0)$，$P(0,0,1)$． $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{PB}=(0,2,-1)$， $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}=\frac{|0+2+0|}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$． 故 $AC$ 与 $PB$ 所成的角为 $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$． （3）$M$ 为 $PB$ 中点，$M\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$． 平面 $AMC$：$\overrightarrow{AM}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，法向量 ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AC}=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1\right)$； 平面 $BMC$：$\overrightarrow{BM}=(0,-1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)$，法向量 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{BM}\times \overrightarrow{BC}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$． $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-1}{\sqrt{\frac{3}{2}}\times \sqrt{\frac{3}{2}}}=-\frac{2}{3}$． 结合图形，二面角 $A-MC-B$ 为钝二面角，其大小为 $\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥垂直与角

核心方法：以 $A$ 为原点建系：$A(0,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(1,1,0)$、$D(1,0,0)$、$P(0,0,1)$、$M(0,1,\frac{1}{2})$；面面垂直用线面垂直传递，两个角用法向量夹角

避坑指南：直角梯形中 $AB=2$、$AD=DC=1$（原卷"$DE$"系"$DC$"误植）；二面角的法向量夹角余弦为负说明二面角是钝角，按题意取 $\arccos (-\frac{2}{3})$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于线面垂直与面面垂直的传递、异面直线所成角与二面角，教材”空间中的位置关系”综合题

结论推广：一般化：底面为直角梯形、侧棱垂直于底面的四棱锥，建系后所有角都可用坐标表示

方法推广：立体几何大题先证明垂直关系打基础，再建系；两类角都可用向量法统一处理

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2009-大纲Ⅰ文-19 解-四棱锥二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-11 单-三棱柱线面角
• 2006-全国卷I文-20 解-异面直线垂直线面角