2006-四川文-20 解-长方体线面平行二面角

本题导读

本题考查长方体。核心在于坐标法证平行、法向量求二面角。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$、$P$ 分别是 $BC$、$A_1{D}_1$ 的中点，$M$、$N$ 分别是 $AE$、$C{D}_1$ 的中点，$AD=A{A}_1=a$，$AB=2a$．

(1) 求证：$MN\parallel$ 面 $AD{D}_1{A}_1$；

(2) 求二面角 $P-AE-D$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 方向为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A(0,0,0)$、$B(2a,0,0)$、$D(0,a,0)$、$A_1(0,0,a)$。
2. $C(2a,a,0)$、$D_1(0,a,a)$、$E(2a,\frac{a}{2},0)$、$P(0,\frac{a}{2},a)$、$M(a,\frac{a}{4},0)$、$N(a,a,\frac{a}{2})$。
3. $\overrightarrow{MN}=(0,\frac{3a}{4},\frac{a}{2})$，平面 $AD{D}_1{A}_1$ 即 $x=0$，$MN$ 方向与 $x$ 轴无关，横坐标恒为 $a\ne 0$，故 $MN$ 平行该平面且无公共点。
4. (2) 求平面 $PAE$ 与平面 $AED$ 的法向量，用夹角公式求二面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\arccos \frac{2\sqrt{21}}{21}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{A{A}_1}$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0),B(2a,0,0),D(0,a,0),A_1(0,0,a),C(2a,a,0),D_1(0,a,a).$ 由中点条件得 $E\left(2a,\frac{a}{2},0\right),P\left(0,\frac{a}{2},a\right),M\left(a,\frac{a}{4},0\right),N\left(a,a,\frac{a}{2}\right).$ 于是 $\overrightarrow{MN}=\left(0,\frac{3a}{4},\frac{a}{2}\right).$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$ 的方程为 $x=0$，而直线 $MN$ 上各点的横坐标均为 $a\ne 0$，说明 $MN$ 的方向平行于平面 $AD{D}_1{A}_1$ 且与该平面没有公共点，所以 $MN\parallel \text{面 }AD{D}_1{A}_1.$

（2）记二面角 $P-AE-D$ 为 $\theta$，它等于平面 $PAE$ 与平面 $AED$ 的法向量夹角（或其补角）． 取平面 $PAE$ 的法向量 $\mathbf{u}=\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AP}$： $\overrightarrow{AE}=\left(2a,\frac{a}{2},0\right),\overrightarrow{AP}=\left(0,\frac{a}{2},a\right),$ $\mathbf{u}=\left(\frac{a^2}{2},-2a^2,a^2\right).$ 取平面 $AED$ 的法向量 $\mathbf{v}=\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AD}=\left(0,0,2a^2\right)$（即 $z$ 轴方向）． 于是 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=2a^4,|\mathbf{u}|=a^2\sqrt{\frac{1}{4}+4+1}=\frac{a^2\sqrt{21}}{2},|\mathbf{v}|=2a^2.$ 所以 $\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}=\frac{2a^4}{\frac{a^2\sqrt{21}}{2}\cdot 2a^2}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}.$ 故二面角 $P-AE-D$ 的大小为 $\arccos \frac{2\sqrt{21}}{21}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体线面平行二面角

核心方法：(1) 建空间直角坐标系，证 $\overrightarrow{MN}=(0,\frac{3a}{4},\frac{a}{2})$ 平行平面 $AD{D}_1{A}_1$（$x=0$）；(2) 取两平面法向量求二面角余弦 $\frac{2\sqrt{21}}{21}$

避坑指南：建系取 $A$ 为原点；$MN$ 横坐标恒为 $a\ne 0$，方向平行平面但无公共点；法向量叉积别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 空间向量法证平行与求二面角

结论推广: 法向量夹角余弦 $\cos \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|u||v|}$

方法推广: 建系取原点、坐标逐点求，叉积求法向量

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-湖南文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-湖北文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2008-福建文-06 单-长方体线面角