2004-全国卷III文-20 解-基本不等式应用最值

本题导读

本题考查基本不等式在面积最值中的应用。核心在于设变量消元后配方求最值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 某村计划建造一个室内面积为 $800{\mathrm{m}}^2$ 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 $1\mathrm{m}$ 宽的通道，沿前侧内墙保留 $3\mathrm{m}$ 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设前、后墙方向边长为 $x$，左、右墙方向边长为 $y$，$xy=800$。
2. 种植面积 $T=(x-2)(y-4)$。
3. 用 $y=\frac{800}{x}$ 消元配方，$T=648-\frac{4(x-20{)}^2}{x}⩽648$。

✅【答案】

Success

温室边长为 $20\mathrm{m}$ 和 $40\mathrm{m}$ 时，最大种植面积为 $648{\mathrm{m}}^2$

✍【详细解析】

Abstract

设温室沿前、后墙方向的边长为 $x\mathrm{m}$，沿左、右墙方向的边长为 $y\mathrm{m}$，则 $xy=800$，且 $x>2$，$y>4$.种植区域前、后墙方向长度为 $x-2$，左、右墙方向长度为 $y-4$，故种植面积 $T=(x-2)(y-4)$.由 $y=\frac{800}{x}$（$2<x<200$），$T=(x-2)\left(\frac{800}{x}-4\right)=808-4x-\frac{1600}{x}=648-\frac{4(x-20{)}^2}{x}⩽648$，当且仅当 $x=20$ 时取等号，此时 $y=\frac{800}{20}=40$.故温室边长为 $20\mathrm{m}$ 和 $40\mathrm{m}$ 时种植面积最大，为 $648{\mathrm{m}}^2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式应用最值
2. 核心方法：设前、后墙方向边 $x$、左、右墙方向边 $y$，$xy=800$；种植面积 $T=(x-2)(y-4)=808-4x-\frac{1600}{x}=648-\frac{4(x-20{)}^2}{x}⩽648$，$x=20$、$y=40$ 时最大 $648$
3. 避坑指南：种植区域长 $x-2$、宽 $y-4$（前侧留 3m 即 $y$ 方向减 4）；用 $y=\frac{800}{x}$ 代入再配方求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于基本不等式求最值，教材”基本不等式”
2. 结论推广: 一般化：$T=(x-a)(\frac{S}{x}-b)$ 型展开后配成”常数减去平方”求最值；用 $y=\frac{S}{x}$ 消元，展开配方，等号成立条件即边长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-19 解-分式函数最值与应用
• 2006-天津文-15 填-基本不等式求最值
• 2007-湖北文-18 解-利润函数最值应用