2001-新课标卷文-18 解-基本不等式求面积最小

本题导读

本题考查利用基本不等式求实际问题的最值。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 设计一幅宣传画，要求画面面积为 $4840\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$，画面的宽与高的比为 $\lambda$（$\lambda <1$），画面的上、下各有 $8\mathrm{cm}$ 空白，左、右各有 $5\mathrm{cm}$ 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

🔍【思路分析】

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1. 设画面高 $x$、宽 $\lambda x$，列纸张面积表达式。
2. 用均值不等式求最小值及取等条件。

✅【答案】

Success

画面高 $88\mathrm{cm}$、宽 $55\mathrm{cm}$

✍【详细解析】

Abstract

设画面高为 $x\mathrm{cm}$，宽为 $\lambda x\mathrm{cm}$，则 $\lambda x^2=4840$．纸张的高为 $x+16$，宽为 $\lambda x+10$，面积 $S=(x+16)(\lambda x+10)=4840+16\lambda x+10x+160=5000+(16\lambda +10)x$．由 $\lambda x^2=4840$ 得 $x=\frac{22\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}$，故 $S=5000+44\sqrt{10}\left(8\sqrt{\lambda }+\frac{5}{\sqrt{\lambda }}\right)$．由均值不等式，$8\sqrt{\lambda }+\frac{5}{\sqrt{\lambda }}\ge 2\sqrt{8\sqrt{\lambda }\cdot \frac{5}{\sqrt{\lambda }}}=2\sqrt{40}$，当 $8\sqrt{\lambda }=\frac{5}{\sqrt{\lambda }}$ 即 $\lambda =\frac{5}{8}$ 时取等号．此时 $\frac{5}{8}{x}^2=4840$，$x=88$，宽 $\lambda x=55$．故画面高 $88\mathrm{cm}$、宽 $55\mathrm{cm}$ 时纸张面积最小．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求面积最小

核心方法：设高 $x$、宽 $\lambda x$，$\lambda x^2=4840$；纸面积 $S=(x+16)(\lambda x+10)$，均值不等式在 $8\sqrt{\lambda }=\frac{5}{\sqrt{\lambda }}$ 即 $\lambda =\frac{5}{8}$ 取最小，得高 $88$、宽 $55$

避坑指南：均值不等式求最小，等号条件定 $\lambda$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材基本不等式

结论推广：一般地，两正数和为定值时乘积最大，等号条件定参数

方法推广：均值不等式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2006-天津文-15 填-基本不等式求最值
• 2003-北京文-14 填-基本不等式面积最值
• 2004-全国卷III文-20 解-基本不等式应用最值