2003-北京文-14 填-基本不等式面积最值

本题导读

本题考查基本不等式求最值，以及函数最值的实际应用。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 将长度为 $1$ 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正方形周长 $x$，边长 $\frac{x}{4}$，圆周长 $1-x$，半径 $\frac{1-x}{2\pi }$。
2. 面积和 $S(x)$ 对 $x$ 求导，令导数为零。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{\pi +4}$

✍【详细解析】

Abstract

设正方形的周长为 $x(0<x<1)$，则其边长为 $\frac{x}{4}$，面积为 $\frac{x^2}{16}$；圆的周长为 $1-x$，半径为 $\frac{1-x}{2\pi }$，面积为 $\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$.面积和 $S(x)=\frac{x^2}{16}+\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$.由 $S^{\prime }(x)=\frac{x}{8}-\frac{1-x}{2\pi }=0$ 得 $\pi x=4(1-x)$，解得 $x=\frac{4}{\pi +4}$，此时 $S$ 最小。故正方形的周长应为 $\frac{4}{\pi +4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式面积最值
2. 核心方法：设正方形周长为 $x$，则面积和 $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$，$S$ 最小时 $\frac{x}{8}=\frac{1-x}{2\pi }$，解得 $x=\frac{4}{\pi +4}$
3. 避坑指南：周长定边长与半径，面积和用导数或基本不等式求驻点

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材基本不等式
2. 结论推广: 一般地，周长定值时分给正方形与圆的最优比例由驻点确定；设未知数列面积和，求导或用基本不等式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2010-北京文-14 填-正方形滚动周期与面积
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-湖北卷文-10 单-三角形数与正方形数