2004-全国卷III文-12 单-分组分配计数

本题导读

本题考查分组分配问题，以及计数原理的应用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 将 $4$ 名教师分配到 $3$ 所中学任教，每所中学至少 $1$ 名，则不同的分配方案共有()

A. $12$ 种　　　　　B. $24$ 种　　　　　C. $36$ 种　　　　　D. $48$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每所至少 1 名，必有 1 所 2 人。
2. 先选 2 人捆绑 ${\mathrm{C}}_4^2=6$。
3. 3 个”单位”排 3 校 $3!=6$，共 $36$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

4 名教师分 3 所中学且每所至少 1 名，必有一所中学分到 2 名。先选出 2 名教师捆绑为一人，有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种；再将这 3 个”单位”分配到 3 所中学，有 $3!=6$ 种。故方案总数为 $6\times 6=36$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分组分配计数
2. 核心方法：4 名教师分 3 所中学，每所至少 1 名：必有 1 所 2 人。选 2 人 ${\mathrm{C}}_4^2=6$，看作 3 个”单位”排到 3 校 $3!=6$，共 $36$
3. 避坑指南：先选 2 人捆绑 ${\mathrm{C}}_4^2$，再 3 个元素全排列 $3!$；别漏”某校 2 人”的捆绑

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分组分配计数，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：$m$ 人分 $n$ 组每组至少 1 人，先捆绑再全排列；先选人捆绑成 $n$ 个”单位”，再全排列，两步相乘

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-12 单-志愿者分配计数
• 2005-江西卷文-07 单-均匀分组的排列计数
• 2005-浙江卷文-14 填-排列组合至多至少计数