2006-全国卷II文-12 单-志愿者分配计数

本题导读

本题考查分组分配问题，以及排列组合计数。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） $5$ 名志愿者分到 $3$ 所学校支教，要求每所学校至少去 $1$ 名志愿者，则不同的分法共有()

A. $150$ 种　　　　B. $180$ 种　　　　C. $200$ 种　　　　D. $280$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 人数分配只有两类：$1,2,2$ 或 $1,1,3$。
2. $1,2,2$ 型：先分组 $\frac{C_5^1{C}_4^2{C}_2^2}{A_2^2}=15$，再分到 3 校 $A_3^3=6$，共 $90$。
3. $1,1,3$ 型：先分组 $\frac{C_5^1{C}_4^1{C}_3^3}{A_2^2}=10$，再分到 3 校 $A_3^3=6$，共 $60$。
4. 合计 $90+60=150$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

按每校人数分为两类： （1）$1,2,2$ 型：分组数为 $\frac{C_5^1{C}_4^2{C}_2^2}{A_2^2}=15$，分配到 3 所学校有 $A_3^3=6$ 种，共 $15\times 6=90$ 种； （2）$1,1,3$ 型：分组数为 $\frac{C_5^1{C}_4^1{C}_3^3}{A_2^2}=10$，分配到 3 所学校有 $A_3^3=6$ 种，共 $10\times 6=60$ 种． 故总数为 $90+60=150$ 种． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：志愿者分配计数

核心方法：按人数分两类：$1,2,2$ 型 $\frac{C_5^1{C}_4^2{C}_2^2}{A_2^2}\cdot A_3^3=90$，$1,1,3$ 型 $\frac{C_5^1{C}_4^1{C}_3^3}{A_2^2}\cdot A_3^3=60$，合计 $150$

避坑指南：分到 3 校且每校至少 1 人，先分组后排列；相同人数组要除 $A_2^2$ 去重，合计 $150$ 不是 $180$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 分组分配计数问题，考查排列组合的应用

结论推广: 先按人数分类，再分组（除以相同组的阶乘）后排列到学校

方法推广: 每处至少一个的分配用先分组后分配，注意同人数组去重

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-14 填-男女选人组合计数
• 2008-湖南文-08 单-至少一个选中计数
• 2009-大纲Ⅰ文-07 单-组合计数