2005-江西卷文-07 单-均匀分组的排列计数

本题导读

本题考查排列组合中的均匀分组计数，以及含限制条件的分组问题处理。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 将 9 人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为()

A. $70$　　　　　　B. $140$　　　　　　C. $280$　　　　　　D. $840$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 甲乙所在组的第三人从其余 7 人中选：$C_7^1$。
2. 剩余 6 人均分两组：$C_6^3÷2$。
3. 分步相乘。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

甲、乙所在组的第三个人从其余 7 人中选出，有 ${\mathrm{C}}_7^1=7$ 种方法；剩余 6 人平均分成两组，有 $\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{2}=10$ 种方法（均匀分组除以组数）．故不同分组方法共有 $7\times 10=70$ 种，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均匀分组的排列计数

核心方法：甲乙捆定后 $C_7^1$ 定第三人，其余 $C_6^3/2$ 均分

避坑指南：均匀分组要除以组数的全排列 $3!$（此处剩 6 人分两组除 $2!$）；不除会得 140 恰是错误选项 B

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 计数原理

结论推广：$n$ 人均分 $k$ 组：$\frac{{\mathrm{C}}_n^{n_1}{\mathrm{C}}_{n-n_1}^{n_2}\cdots }{k!}$（均匀分组除组数阶乘）

方法推广：分组问题”先特殊后一般”：定下受限元素所在组，再均匀分其余

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-07 单-几何概型
• 2013-大纲卷理-14 填-排列与组合的综合应用
• 2017-全国卷II文-11 单-古典概型