2003-大纲文-08 单-三角偶函数定参

本题导读

本题考查三角函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 函数 $y=\sin (x+\phi )$（$0⩽\phi ⩽\pi$）是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，则 $\phi =$()

A. $0$　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开 $f(x)=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$。
2. $\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，偶函数需 $\cos \phi =0$。
3. $0⩽\phi ⩽\pi$ 得 $\phi =\frac{\pi }{2}$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

展开得 $f(x)=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$.其中 $\sin x$ 是奇函数、$\cos x$ 是偶函数，要使 $f(x)$ 为偶函数，奇函数部分系数必须为零，即 $\cos \phi =0$.结合 $0⩽\phi ⩽\pi$，得 $\phi =\frac{\pi }{2}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角偶函数定参
2. 核心方法：$f(x)=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$，偶函数需 $\cos \phi =0$，$0⩽\phi ⩽\pi$ 得 $\phi =\frac{\pi }{2}$
3. 避坑指南：展开用和角公式；偶函数要求奇函数部分系数 $\cos \phi =0$，勿误取 $\phi =\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数的奇偶性，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：$\sin (x+\phi )$ 偶函数 $⟺\cos \phi =0$，即 $\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$；展开后令奇函数部分系数为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-11 单-周期偶函数比大小
• 2006-湖南文-15 填-三角函数偶函数定参
• 2008-辽宁文-02 单-偶函数求参数