2006-湖南文-15 填-三角函数偶函数定参

本题导读

本题考查三角函数，以及奇偶性。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 若 $f(x)=a\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+3\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 是偶函数，则 $a=$　　　　.

🔍【思路分析】

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1. $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$，$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)$。
2. $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[a(\sin x+\cos x)+3(\sin x-\cos x)\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[(a+3)\sin x+(a-3)\cos x\right]$。
3. 偶函数 ⟺ $\sin x$ 项系数为零：$a+3=0$，$a=-3$。

✅【答案】

Success

$-3$

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式： $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x),\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x).$ 于是 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[a(\sin x+\cos x)+3(\sin x-\cos x)\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[(a+3)\sin x+(a-3)\cos x\right].$ $f(x)$ 为偶函数 $⟺$ 含奇函数因子 $\sin x$ 的项消失，即 $a+3=0$，得 $a=-3$． 此时 $f(x)=-3\sqrt{2}\cos x$ 确为偶函数．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数偶函数定参

核心方法：$f(x)\cos$ 化：$a\sin (x+\frac{\pi }{4})+3\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{a+3}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{a-3}{\sqrt{2}}\cos x$，偶函数要求 $\sin x$ 系数为 0，$a=-3$

避坑指南：展开后偶函数 ⟺ $\sin x$ 项系数为零；注意 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x-\cos x)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角函数奇偶性定参，辅助角与展开

结论推广: 展开后令 $\sin x$ 系数为零

方法推广: 奇偶性定参：化成 $A\sin x+B\cos x$ 看系数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-14 填-偶函数单调性条件判定
• 2008-陕西文-17 解-三角化简与奇偶性
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2008-大纲Ⅱ文-10 单-辅助角公式最值