2002-上海卷文-10 填-正弦型函数偶函数定参

本题导读

本题考查正弦型函数的奇偶性，以及偶函数的相位条件。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 设函数 $f(x)=\sin 2x$，若 $f(x+t)$ 是偶函数，则 $t$ 的一个可能值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x+t)=\sin (2x+2t)$。
2. 偶函数需 $2t=k\pi +\frac{\pi }{2}$，即 $t=\frac{(2k+1)\pi }{4}$。

✅【答案】

Success

$\frac{(2k+1)\pi }{4}$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

$f(x+t)=\sin 2(x+t)=\sin (2x+2t)$．要使 $\sin (2x+2t)$ 为偶函数，需 $2t=k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$），故 $t=\frac{(2k+1)\pi }{4}$（$k\in \mathbf{Z}$）．取 $k=0$ 得一个可能值 $t=\frac{\pi }{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数偶函数定参

核心方法：$f(x+t)=\sin 2(x+t)=\sin (2x+2t)$ 为偶函数需 $2t=k\pi +\frac{\pi }{2}$，故 $t=\frac{(2k+1)\pi }{4}$

避坑指南：$\sin (2x+\varphi )$ 为偶函数需 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正弦型函数奇偶性

结论推广：一般地，$\sin (2x+\varphi )$ 为偶函数需 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$

方法推广：由 $\varphi =2t$ 反解 $t$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-08 单-三角偶函数定参
• 2003-北京文-12 填-偶函数判断