2003-大纲文-06 单-分段函数解不等式

本题导读

本题考查分段函数与不等式的求解。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}-1,& x⩽0\\ x^{\frac{1}{2}},& x>0\end{array}$，若 $f(x_0)>1$，则 $x_0$ 的取值范围是()

A. $(-1,1)$　　B. $(-1,+\infty )$　　C. $(-\infty ,-2)\cup (0,+\infty )$　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x⩽0$：$2^{-x}-1>1$ 即 $2^{-x}>2$，$-x>1$，$x<-1$。
2. $x>0$：$x^{\frac{1}{2}}>1$ 即 $\sqrt{x}>1$，$x>1$。
3. 综上 $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$ 时，$f(x)=2^{-x}-1$，由 $f(x)>1$ 得 $2^{-x}>2=2^1$，故 $-x>1$，即 $x<-1$；当 $x>0$ 时，$f(x)=\sqrt{x}$，由 $f(x)>1$ 得 $\sqrt{x}>1$，即 $x>1$.综上 $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数解不等式
2. 核心方法：$x⩽0$：$2^{-x}-1>1$ 即 $2^{-x}>2$，$-x>1$，$x<-1$；$x>0$：$\sqrt{x}>1$，$x>1$；故 $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$
3. 避坑指南：分段讨论；$2^{-x}>2=2^1$ 时指数比较注意负号；两段结果取并集

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分段函数与不等式，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：分段讨论各段定义域内解不等式再并集；分段解，注意指数函数单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-08 单-分段函数与集合映射
• 2004-福建文-14 填-分段函数不等式
• 2006-辽宁文-14 填-分段函数复合求值