2006-辽宁文-14 填-分段函数复合求值

本题导读

本题考查分段函数，以及复合函数。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 设 $g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x⩽0,\\ \ln x,& x>0,\end{array}$ 则 $g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{1}{2}>0$，故 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2<0$。
2. 因 $\ln \frac{1}{2}<0$，外层取 $x⩽0$ 段：$g\left(\ln \frac{1}{2}\right)=e^{\ln \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{1}{2}>0$，所以 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2<0$． 又 $-\ln 2<0$，代入 $x⩽0$ 的对应关系 $g(x)=e^x$，得 $g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right)=g(-\ln 2)=e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$． 故答案为 $\frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数复合求值

核心方法：内层分段取值再代入外层

避坑指南：$\frac{1}{2}>0$ 取 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\ln \frac{1}{2}<0$，再取 $x⩽0$ 段 $e^{\ln \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$；别把内外层分段对应关系搞反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 分段函数复合求值，基础运算题

结论推广: 从内向外逐层代入，每层先判自变量落在哪一段

方法推广: 分段函数复合求值按”内层取值→判段→代入外层”三步走

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-05 单-分段函数复合求值
• 2009-山东卷文-07 单-分段函数递推