2003-上海文-13 单-偶函数与单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性与单调性，以及基本三角函数的性质。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 下列函数中，既为偶函数又在 $(0,\pi )$ 上单调递增的是()

A. $y=\tan |x|$　　　　B. $y=\cos (-x)$　　　　C. $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$　　　　D. $y=\left|\cot \frac{x}{2}\right|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 检验各选项的奇偶性。
2. 检验在 $(0,\pi )$ 上的单调性。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

A：$y=\tan |x|$ 为偶函数，但在 $(0,\pi )$ 上 $\tan x$ 有间断点且不单调，排除；B：$y=\cos (-x)=\cos x$ 为偶函数，但在 $(0,\pi )$ 上递减，排除；C：$y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ 为偶函数，且在 $(0,\pi )$ 上 $-\cos x$ 递增，符合；D：$y=\left|\cot \frac{x}{2}\right|$ 为偶函数，但在 $(0,\pi )$ 上递减，排除。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数与单调性
2. 核心方法：$y=\sin (x-\frac{\pi }{2})=-\cos x$ 为偶函数且在 $(0,\pi )$ 递增，选 C
3. 避坑指南：逐个检验偶性与区间单调性

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材函数奇偶性与单调性
2. 结论推广: 一般地，偶函数且在 $(0,\pi )$ 递增的函数可先化 $\cos$ 型；逐个选项验证奇偶性与单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-12 填-偶函数判断
• 2005-重庆卷文-03 单-偶函数与单调性解不等式
• 2006-上海春-06 填-偶函数求对称区间解析式