2006-上海春-06 填-偶函数求对称区间解析式

本题导读

设 $x>0$，则 $-x<0$，$f(-x)=(-x)-(-x{)}^4=-x-x^4$，由偶函数 $f(x)=f(-x)=-x-x^4$。

📌【题干】

Question

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的偶函数。当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$f(x)=x-x^4$，则当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f(x)=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $x>0$ 时的解析式，需将 $x$ 转化到已知区间 $(-\infty ,0)$。
2. 设 $x>0$，则 $-x<0$，代入得 $f(-x)=(-x)-(-x{)}^4=-x-x^4$。
3. 由偶函数定义 $f(x)=f(-x)$，故 $f(x)=-x-x^4$。

✅【答案】

Success

$-x-x^4$

✍【详细解析】

Abstract

设 $x>0$，则 $-x<0$，代入已知解析式得 $f(-x)=(-x)-(-x{)}^4=-x-x^4$。 因为 $f(x)$ 是偶函数，$f(x)=f(-x)$， 所以当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f(x)=-x-x^4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数求对称区间解析式

核心方法：对称区间代入再翻符号

避坑指南：设 $x>0$ 则 $-x<0$，$f(-x)=-x-x^4$；偶函数 $f(x)=f(-x)$，$x$ 与 $x^4$ 都要变号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：偶函数对称性

结论推广：求对称区间解析式：代 $-x$ 入已知段再用 $f(x)=f(-x)$

方法推广：奇偶函数求未知段解析式统一用”代 $-x$ + 奇偶性”两步法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-09 填-偶函数定值域
• 2010-江苏卷-05 填-偶函数定参

专题合集 (Series)