2005-重庆卷文-03 单-偶函数与单调性解不等式

本题导读

本题考查偶函数的单调性与对称性解不等式。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 若函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，在 $(-\infty ,0]$ 上是减函数，且 $f(2)=0$，则使得 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,2)$　　　　B. $(2,+\infty )$　　　　C. $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$　　　　D. $(-2,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶函数在 $[0,+\infty )$ 上递增，$f(2)=0$。
2. $x>0$ 时 $f(x)<0⟺x<2$，即 $0<x<2$。
3. 对称得 $-2<x<0$，并 $x=0$（$f(0)<0$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由偶函数在 $(-\infty ,0]$ 上递减，知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增，且 $f(2)=f(-2)=0$．当 $x⩾0$ 时，$f(x)<0⟺0⩽x<2$；由对称性，当 $x<0$ 时 $f(x)<0⟺-2<x<0$．又 $f(0)<f(2)=0$，故解集为 $(-2,2)$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数与单调性解不等式

核心方法：偶函数对称+$f(2)=0$：$f(x)<0$ 解集 $(-2,2)$

避坑指南：偶函数在 $(-\infty ,0]$ 递减 $\Rightarrow$ 在 $[0,+\infty )$ 递增；$f(2)=0$ 且 $f(-2)=0$，小于零夹在两根之间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数性质

结论推广：偶函数图象关于 $y$ 轴对称，$f(x)<0$ 解集 $(-2,2)$

方法推广：偶函数+单侧单调：另一侧单调性相反；零点也对称

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-14 填-偶函数单调性条件判定
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2011-新课标Ⅰ文-03 单-偶函数与单调性