2000-新课标理-02 单-复数的几何意义

本题导读

本题考查复平面内复数对应向量的旋转问题。核心意图在于测试学生利用复数的三角形式或复数乘法的几何意义解决向量旋转变换的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 在复平面内，把复数 $3-\sqrt{3}\text{i}$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，所得向量对应的复数是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　B. $-2\sqrt{3}\text{i}$　　　　　C. $\sqrt{3}-3\text{i}$　　　　　D. $3+\sqrt{3}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出初始复数的三角形式：求出复数 $z_1=3-\sqrt{3}\text{i}$ 的模长和辐角主值。
2. 计算变换后的辐角：向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，意味着新复数 $z_2$ 的辐角在原基础上减去 $\frac{\pi }{3}$，而模长保持不变。
3. 转化为代数形式：由新复数的模长与辐角写出其三角形式，进而展开化为代数形式比对选项。
4. 另解（复数乘法几何意义）：顺时针旋转 $\frac{\pi }{3}$ 等价于乘以旋转复数 $z_{\theta }=\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：辐角变换法 设初始复数 $z_1=3-\sqrt{3}\text{i}$。 其模长为： $|z_1|=\sqrt{3^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 设其辐角为 ${\theta }_1$，则： $\cos {\theta }_1=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin {\theta }_1=\frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}$ 由 ${\theta }_1$ 位于第四象限，取 ${\theta }_1=-\frac{\pi }{6}$。

根据题意，向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，新复数 $z_2$ 的模长不变，辐角变为： ${\theta }_2={\theta }_1-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}$

因此，新复数 $z_2$ 为： $z_2=2\sqrt{3}\left[\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]$ $z_2=2\sqrt{3}(0-\text{i})=-2\sqrt{3}\text{i}$

方法二：复数乘法几何意义法 复平面内，向量绕原点顺时针旋转 $\frac{\pi }{3}$，等价于该复数乘以 $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$。 计算如下： $z_2=(3-\sqrt{3}\text{i})\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)$ $z_2=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}+\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{2}{\text{i}}^2$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，代入化简： $z_2=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}\text{i}-\frac{3}{2}$ $z_2=0-\frac{4\sqrt{3}}{2}\text{i}=-2\sqrt{3}\text{i}$

答案： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的模与辐角计算；复数乘法的几何意义（“模相乘，辐角相加”）。
2. 核心方法：乘法几何变换法。
3. 避坑指南：注意旋转方向与辐角符号的对应关系。逆时针旋转辐角相加，顺时针旋转辐角相减。若将顺时针错当成逆时针计算，会得到辐角为 $\frac{\pi }{6}$，从而错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查复数的几何代数综合性质，取材于高中数学“复数”章节中关于复数相乘几何意义的经典应用题。
2. 结论推广：在复平面中，任意复数 $z=x+y\text{i}$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 后的新复数，可由复数乘法的几何意义确定，即 $z^{\prime }=z\cdot (\cos \alpha +\text{i}\sin \alpha )$。当顺时针旋转时，将 $\alpha$ 替换为 $-\alpha$ 即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式