2000-上海卷理-16 单-任意角三角函数的定义

本题导读

本题考查三角函数基本概念与性质的综合辨析，涉及任意角三角函数的坐标定义、终边相同的角、反正弦函数与正切函数的符号，以及三角方程的解集。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 下列命题中正确的命题是 ()

A. 若点 $P(a,2a)(a\ne 0)$ 为角 $\alpha$ 终边上一点，则 $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

B. 同时满足 $\sin a=\frac{1}{2}$，$\cos a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角 $a$ 有且只有一个

C. 当 $|a|<1$ 时，$\tan (\arcsin a)$ 的值恒正

D. 三角方程 $\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$ 的解集为 $\{x\mid x=k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 项：利用任意角正弦函数的定义 $\sin \alpha =\frac{y}{r}$。其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。注意参数 $a$ 的正负决定了终边所在的象限，从而影响正弦值的符号。
2. 分析 B 项：确定了正弦和余弦值后，角 $a$ 的终边位置唯一确定（第一象限）。但由于终边相同的角有无数多个（相差 $2k\pi$），需注意其个数。
3. 分析 C 项：分析反正弦函数 $y=\arcsin a(a\in (-1,1))$ 的值域与符号。讨论当 $a<0$ 时，复合函数的正负性。
4. 分析 D 项：求解基本三角方程。令 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$，解出 $x$ 对应的集合，并与选项中的解集核对。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

逐项分析判断：

• 对于 A 项： 已知角 $\alpha$ 终边上一点为 $P(a,2a)(a\ne 0)$。 计算点 $P$ 到原点的距离 $r$： $r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a^2+(2a{)}^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}|a|$ 根据任意角三角函数的定义： $\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$

• 当 $a>0$ 时， $|a|=a$， $\sin \alpha =\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

• 当 $a<0$ 时， $|a|=-a$， $\sin \alpha =\frac{2a}{-\sqrt{5}a}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 由于没有给定 $a$ 的正负，正弦值可能为正也可能为负。因此，A 项错误。

• 对于 B 项： 同时满足 $\sin a=\frac{1}{2}>0$ 且 $\cos a=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ 的角 $a$，其终边唯一确定在第一象限，其中一个解为 $a=\frac{\pi }{6}$。 然而，所有与 $\frac{\pi }{6}$ 终边相同的角均满足该条件，即： $a=\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 符合条件的角 $a$ 有无穷多个。因此，B 项错误。

• 对于 C 项： 当 $|a|<1$ 且 $a\ne 0$ 时，设 $\theta =\arcsin a$。 根据反正弦函数的值域， $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，且 $\theta$ 的符号与 $a$ 保持一致。

• 若 $a\in (-1,0)$，则 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$。此时正切值 $\tan (\arcsin a)=\tan \theta <0$ 为负数。

• 只有当 $a\in (0,1)$ 时，其值才为正。 因此，值不是“恒正”的。C 项错误。

• 对于 D 项： 求解三角方程 $\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$。 已知 $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$，根据正切函数的周期性（周期为 $\pi$），可得： $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 两边同时减去 $\frac{\pi }{3}$ 得： $x=k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 用集合形式表示其解集为 $\{x\mid x=k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$。该命题正确。因此，D 项正确。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：任意角三角函数中距离 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 恒为正，而坐标带符号；终边相同的角相差 $2k\pi$；正切方程的解法。
2. 核心方法：分类讨论法（A项中利用 $a$ 的正负去除绝对值符号）；反例排除法。
3. 避坑指南：

• A 项中极易想当然认为 $\sqrt{a^2}=a$，从而漏掉负号。在涉及字母开平方时，必须牢记 $\sqrt{a^2}=|a|$。
• B 项中注意审题，区分“终边有且只有一条”与“角有且只有一个”的区别。终边是唯一的，但表达该终边的角因周期性而有无数多个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是一道考查三角函数基本概念的经典辨析题。
2. 结论推广：三角方程 $\tan (\omega x+\phi )=A$ 的解题步骤为：先求出 ${\theta }_0=\arctan A$，再令 $\omega x+\phi ={\theta }_0+k\pi (k\in \mathbf{Z})$，最后解出 $x$ 的通解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1987-上海-06 填-含绝对值三角函数的周期
• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值