2000-上海卷理-13 单-复数的三角形式定义

本题导读

本题考查复数三角形式的标准定义。解题核心在于明确复数的标准三角形式中，模长 $r$ 必须为正数，且实部与虚部之间必须由加号连接。通过运用三角函数的诱导公式，将给出的非标准式化为符合规范的标准形式。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 复数 $z=-3\left(\cos \frac{\pi }{5}-\text{i}\sin \frac{\pi }{5}\right)$ ($\text{i}$ 是虚数单位) 的三角形式是 ()

A. $3\left[\cos \left(-\frac{\pi }{5}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)\right]$　　　　　　　　　　　　　B. $3\left(\cos \frac{\pi }{5}+\text{i}\sin \frac{\pi }{5}\right)$

C. $3\left(\cos \frac{4\pi }{5}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{5}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　D. $3\left(\cos \frac{6\pi }{5}-\text{i}\sin \frac{6\pi }{5}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确标准形式：复数的标准三角形式为 $z=r(\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$，其中必须满足：

• 模长 $r>0$；
• 结构为 $\cos \theta +\text{i}\sin \theta$（中间必为加号，且两个角 $\theta$ 必须完全相同）。

2. 转换符号：

• 将前面的负号 $-3$ 转化为 $+3$，即将负号移入括号内：$z=3\left(-\cos \frac{\pi }{5}+\text{i}\sin \frac{\pi }{5}\right)$。

3. 运用诱导公式：寻找一个角 $\theta$，使得 $\cos \theta =-\cos \frac{\pi }{5}$ 且 $\sin \theta =\sin \frac{\pi }{5}$。根据诱导公式，可确定 $\theta =\pi -\frac{\pi }{5}=\frac{4\pi }{5}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

已知复数： $z=-3\left(\cos \frac{\pi }{5}-\text{i}\sin \frac{\pi }{5}\right)$

为了将其化为标准三角形式 $z=r(\cos \theta +\text{i}\sin \theta )(r>0)$，将前面的负号乘入括号内部： $z=3\left(-\cos \frac{\pi }{5}+\text{i}\sin \frac{\pi }{5}\right)$

根据三角函数的诱导公式： $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$

令 $\alpha =\frac{\pi }{5}$，则有： $-\cos \frac{\pi }{5}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)=\cos \frac{4\pi }{5}$ $\sin \frac{\pi }{5}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)=\sin \frac{4\pi }{5}$

代入复数表达式中，得： $z=3\left(\cos \frac{4\pi }{5}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{5}\right)$

此形式完全符合 $r>0$ 且中间为加号的标准三角形式要求。

故选：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数标准三角形式的定义特征；诱导公式在复数辐角主值调整中的应用。
2. 核心方法：符号内移与诱导公式配凑法。
3. 避坑指南：

• 易错选 A：若只看括号内部，利用余弦偶函数、正弦奇函数可将 $\cos \frac{\pi }{5}-\text{i}\sin \frac{\pi }{5}$ 化为 $\cos \left(-\frac{\pi }{5}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)$。但此时前面的系数仍为 $-3$，不满足模长 $r>0$ 的标准，故 A 错误。
• 转换时需确保 $\cos$ 和 $\sin$ 的辐角 $\theta$ 保持绝对一致，切勿出现实部虚部角度不同的非标准式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数基本概念的辨析题，重点考查学生对数学定义中符号限制（如模长非负）的敏感度。
2. 结论推广：对任意形如 $z=-r(\cos \alpha -\text{i}\sin \alpha )(r>0)$ 的复数，其标准三角形式转换通用公式为： $z=r(-\cos \alpha +\text{i}\sin \alpha )=r[\cos (\pi -\alpha )+\text{i}\sin (\pi -\alpha )]$ 通过此公式可直接实现一秒口算化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式