2000-上海文-05 填-反函数图象过点求参

本题导读

本题考查反函数的图象性质，以及求参数的值。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 已知 $f(x)=2x+b$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，若 $y=f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $Q(5,2)$，则 $b=$　　　．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数图象过 $(5,2)$ 等价于原函数图象过 $(2,5)$。
2. 代入 $f(2)=5$ 解 $b$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由反函数与原函数图象关于直线 $y=x$ 对称，$f^{-1}(x)$ 的图象过点 $(5,2)$ 等价于 $f(x)$ 的图象过点 $(2,5)$．代入得 $f(2)=2\times 2+b=5$，解得 $b=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数图象过点求参

核心方法：$f^{-1}$ 过 $(5,2)$ 即 $f$ 过 $(2,5)$，$2\times 2+b=5$，$b=1$

避坑指南：反函数图象过点 $⟺$ 原函数图象过交换点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数的性质

结论推广：一般地，$f^{-1}$ 过 $(a,b)⟺f$ 过 $(b,a)$

方法推广：图象过点转化求参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-03 填-反函数图象过点求参
• 2006-北京文-11 填-反函数图象过点求参

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