1997-全国卷理-07 单-函数图象的变换

本题导读

本题考查函数图象的平移变换，以及反函数的图象对称性。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 将 $y=2^x$ 的图象$\underline{}$，再作关于直线 $y=x$ 对称的图象，可得到函数 $y={\log }_2(x+1)$ 的图象. ()

A. 先向左平行移动 1 个单位　　　　B. 先向右平行移动 1 个单位 C. 先向上平行移动 1 个单位　　　　D. 先向下平行移动 1 个单位

🔍【思路分析】

破题导航

采用逆向推导法：从最终结果 $y={\log }_2(x+1)$ 倒推。 反求关于 $y=x$ 对称的变换：由于最后一步是“作关于直线 $y=x$ 对称的图象”，这在代数上等价于求函数 $y={\log }_2(x+1)$ 的反函数。 对比分析第一步的平移：将求出的反函数解析式与初始函数 $y=2^x$ 进行结构比对，根据“上加下减，左加右减”的平移规律，确定初始图象的移动方向。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

逆向求目标函数的反函数 目标函数为： $y={\log }_2(x+1)$

为了找到作关于直线 $y=x$ 对称前的函数，我们需要求其反函数。 将对数式化为指数式： $x+1=2^y⟹x=2^y-1$

对调自变量 $x$ 与因变量 $y$，得到反函数解析式为： $y=2^x-1$

这意味着，在作关于直线 $y=x$ 对称的操作之前，该图象对应的函数表达式必须是 $y=2^x-1$。

比对初始函数与平移规律 现在需要将初始函数 $y=2^x$ 通过平移变换调整为 $y=2^x-1$。 根据函数图象平移的“上加下减”代数规律：

• 函数整体减去 1（即 $f(x)-1$），在几何上对应将图象向下平行移动 1 个单位。

因此，将 $y=2^x$ 的图象向下平行移动 1 个单位得到 $y=2^x-1$，再作关于 $y=x$ 对称的图象，即可得到 $y={\log }_2(x+1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：互为反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称；指数与对数互化；图象纵向平移对常数项的影响。 核心方法：“逆向反函数映射法”。 避坑指南：

• 平移方向对调陷阱：极易错选 A 或 B。很多学生看到最终表达式中是 ${\log }_2(x+1)$ 含有 “$+1$”，根据“左加右减”想当然地认为应该向左平移。但这忽略了平移与对称变换的先后顺序。如果“先对称再平移”，则是对对数函数自变量加 1（向左平移 1 个单位）；而本题是“先平移再对称”，因此在对称前必须作用于指数函数的纵向维度（向下平移 1 个单位），两种顺序的代数效果截然不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于函数图象几何变换的经典辨析题，取材于高中数学教材中“反函数”与“对数函数及其图象平移”章节的综合提升练习题。 结论推广： 复合变换顺序算子模型： 设图象变换算子 $T_{\text{left}}(d)$ 为向左平移 $d$，$T_{\text{down}}(d)$ 为向下平移 $d$，$R_{y=x}$ 为关于 $y=x$ 对称。

• 若顺序为：先平移后对称，则有：$R_{y=x}[f(x)-d]=f^{-1}(x)+d$（横向移变纵向）；
• 若顺序为：先对称后平移，则有：$T_{\text{left}}(d)[R_{y=x}(f(x))]=f^{-1}(x+d)$。 掌握这一算子映射规律，可以有效秒杀所有涉及对称与平移先后次序易混淆的客观题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-16 单-奇函数图象变换
• 2000-上海文-05 填-反函数图象过点求参
• 1998-全国卷文-02 单-指数函数与绝对值函数的图象