1999-全国卷理-13 单-直线与曲线的交点判定

本题导读

本题考查线段垂直平分线的轨迹方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 已知两点 $M\left(1,\frac{5}{4}\right),N\left(-4,-\frac{5}{4}\right)$，给出下列曲线方程： ① $4x+2y-1=0$；② $x^2+y^2=3$；③ $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；④ $\frac{x^2}{2}-y^2=1$. 在曲线上存在点 $P$ 满足 $|MP|=|NP|$ 的所有曲线方程是()

A. ①③　　　　　　B. ②④　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ②③④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解动点 $P$ 的几何轨迹：依据平面几何性质，到两定点 $M,N$ 距离相等的点 $P$ 的几何轨迹是线段 $MN$ 的垂直平分线（中垂线）。先求出线段 $MN$ 的中点坐标及斜率，进而写出这条中垂线的直线方程 $l$。
2. 转化题意为曲线交点问题：“曲线上存在点 $P$ 满足条件”等价于“中垂线 $l$ 与已知曲线有至少一个公共交点”。
3. 逐一校验四个方程：

• 对于①（直线）：检查两直线是否平行。若不平行，则必有交点。
• 对于②（圆）：利用圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $R$ 的大小关系判定是否相交。
• 对于③（椭圆）与④（双曲线）：将中垂线 $l$ 引入圆锥曲线方程进行联立消元，通过一元二次方程的判别式 $\Delta \ge 0$ 判定是否存在实数交点。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求线段 $MN$ 的垂直平分线方程 $l$

已知两点 $M\left(1,\frac{5}{4}\right)$ 和 $N\left(-4,-\frac{5}{4}\right)$。

1. 计算线段 $MN$ 的中点 $Q$ 的坐标： $x_Q=\frac{1+(-4)}{2}=-\frac{3}{2},y_Q=\frac{\frac{5}{4}+\left(-\frac{5}{4}\right)}{2}=0⟹Q\left(-\frac{3}{2},0\right)$
2. 计算直线 $MN$ 的斜率 $k_{MN}$： $k_{MN}=\frac{\frac{5}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)}{1-(-4)}=\frac{\frac{5}{2}}{5}=\frac{1}{2}$
3. 依据垂直独立性，中垂线 $l$ 的斜率 $k_l$ 满足： $k_l=-\frac{1}{k_{MN}}=-2$

利用点斜式写出中垂线 $l$ 的方程： $y-0=-2\left(x+\frac{3}{2}\right)⟹y=-2x-3⟹2x+y+3=0\text{恒等式 }l$

第二步：逐一校验直线 $l$ 与各曲线的交点存在性

• 校验①：直线 $4x+2y-1=0$ 已知直线①可化为 $2x+y-\frac{1}{2}=0$，其斜率为 $-2$。 而中垂线 $l:2x+y+3=0$ 的斜率同样为 $-2$，且常数项不同。 因此，这两条直线相互平行，绝无公共交点。故①不满足。 (由此可直接排除 A、C 选项)

• 校验②：圆 $x^2+y^2=3$ 该圆的圆心为原点 $O(0,0)$，半径 $R=\sqrt{3}$。 计算圆心 $O$ 到中垂线 $l:2x+y+3=0$ 的垂直距离 $d$： $d=\frac{|2\times 0+0+3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ 因为 $d^2=\frac{9}{5}=1.8$，而半径平方 $R^2=3$，可知 $d<R$。 这说明直线 $l$ 与圆相交，存在 2 个公共点。故②满足。 (此时答案必在 B、D 之中，需进一步检验③)

• 校验③：椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 将中垂线方程 $y=-2x-3$ 代入椭圆方程中： $\frac{x^2}{2}+(-2x-3{)}^2=1⟹\frac{x^2}{2}+4x^2+12x+9=1$ 两边同乘以 2 归一化： $x^2+8x^2+24x+18=2⟹9x^2+24x+16=0$ 检查该一元二次方程的根的判别式 $\Delta$： $\Delta =24^2-4\times 9\times 16=576-576=0$ 因为 $\Delta =0$，说明该方程组有唯一实数解（直线与椭圆相切），即存在 1 个公共点。故③满足。 (由此可锁定正确选项为 D)

• 校验④：双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 将 $y=-2x-3$ 代入双曲线方程中： $\frac{x^2}{2}-(-2x-3{)}^2=1⟹\frac{x^2}{2}-(4x^2+12x+9)=1$ 两边同乘以 2 归一化： $x^2-8x^2-24x-18=2⟹-7x^2-24x-20=0⟹7x^2+24x+20=0$ 检查该方程的根的判别式 $\Delta$： $\Delta =24^2-4\times 7\times 20=576-560=16>0$ 因为 $\Delta >0$，说明直线与双曲线相交，存在 2 个公共点。故④满足。

综上所述，满足要求的曲线方程为 ②、③、④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何中中垂线方程的点斜式构筑；直线与圆位置关系的几何法判定（$d$ 与 $R$ 的比较）；直线与椭圆/双曲线交点个数的代数消元判别式法。
2. 核心方法：几何优先与代数代入结合法。第一阶段利用几何定义将空间条件收敛为一条确定直线，第二阶段采用常规的联立方程组算判别式，思路极其模块化。
3. 避坑指南：

• 盲目联立消元导致计算量过大：切勿将点 $P(x,y)$ 设出后直接盲目带入代数式 $|MP|=|NP|$ 去和四个曲线方程挨个联立。应当先化简出垂直平分线的最简形式 $2x+y+3=0$，再进行后续操作。
• 排除法错位：检验出①不成立后，能瞬间砍掉 A、C，剩下的 B 和 D 的核心分歧点在③。考场上此时应直接去算③的判别式，无需在④上浪费多余的算力。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中“直线与圆锥曲线的位置关系”章节。将一阶线性轨迹（直线）与二阶曲线（圆、椭圆、双曲线）的交点判定交织在一起，属于高考试卷中极具综合区分度的多对象选择题。
2. 结论推广：对于平面上任意一条确定直线 $Ax+By+C=0$，其与闭合二次曲线（如椭圆）是否相交，取决于其到曲线中心的广义距离是否小于半轴长；而与具有渐近线的非闭合二次曲线（如双曲线）是否相交，不仅取决于判别式 $\Delta$，还需关注直线斜率是否等于渐近线斜率。本题中由于直线斜率 $-2\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$（渐近线斜率），且 $\Delta >0$，故④必然稳定相交。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色文-09 解-垂直平分线轨迹
• 1993-上海-15 单-圆锥曲线的定义与轨迹