1999-上海文-07 填-三角函数的单调递减区间

本题导读

本题考查复合三角函数单调区间的求法。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 函数 $y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$（$x\in [-\pi ,0]$）的单调递减区间是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 递减需内层相位 $2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$。
2. 解出 $x$ 的区间后与 $[-\pi ,0]$ 求交。

✅【答案】

Success

$\left[-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

正弦函数递减当且仅当相位在 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbf{Z}$）内。令 $\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，解得 $\frac{\pi }{6}+k\pi ⩽x⩽\frac{5\pi }{6}+k\pi$。取 $k=-1$ 得区间 $\left[-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{3}\right]$，恰含于定义域 $[-\pi ,0]$。故所求单调递减区间为 $\left[-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{3}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的单调递减区间

核心方法：递减需 $2x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$，即 $x\in [\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{5\pi }{6}+k\pi ]$，与 $[-\pi ,0]$ 交得 $[-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{3}]$

避坑指南：内层相位区间与定义域求交

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复合三角函数的单调性

结论推广：一般地，先解内层相位区间再与定义域求交

方法推广：内层区间与定义域求交

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-04 单-三角函数的单调区间
• 2004-天津文-10 单-三角函数单调区间
• 2005-福建卷文-04 单-余弦函数的单调区间