1995-上海理-18A 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及等比数列极限为零的条件。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left[1+(r+1{)}^n\right]=1$，则 $r$ 的取值范围是　　　.

🔍【思路分析】

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1. 由极限为 1 得 $(r+1{)}^n$ 的极限为 0。
2. 由等比极限为零条件求 $r$。

✅【答案】

Success

$-2<r<0$

✍【详细解析】

Abstract

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[1+(r+1{)}^n\right]=1+\underset{n\to \infty }{\lim }(r+1{)}^n=1$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }(r+1{)}^n=0$，需 $|r+1|<1$，即 $-1<r+1<1$，解得 $-2<r<0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：${\lim }_{n\to \infty }[1+(r+1{)}^n]=1$ 需 ${\lim }_{n\to \infty }(r+1{)}^n=0$，即 $|r+1|<1$，解得 $-2<r<0$

避坑指南：等比极限为零条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的极限

结论推广：一般地，等比极限为零需公比绝对值小于 1

方法推广：等比极限为零条件

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-13A 填-数列的极限
• 1996-上海理-16B 填-函数的极限
• 1998-上海理-03 填-函数极限求参数