1993-旧高考理-19 填-抛物线的焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及抛物线的对称性与弦长计算。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 抛物线 $y^2=4x$ 的弦 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，若 $AB$ 的长为 $4\sqrt{3}$，则焦点到 $AB$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

求出焦点坐标：由抛物线 $y^2=2px=4x$ 确定参数 $p$，从而写出焦点 $F$ 的坐标。 利用对称性求端点纵坐标：因弦 $AB\perp x$ 轴，抛物线关于 $x$ 轴对称，故 $A,B$ 两点的纵坐标互为相反数，其绝对值等于弦长的一半。 求弦所在的直线方程：将求得的纵坐标代入抛物线方程，求出对应的横坐标 $x_0$，即为直线 $AB$ 的方程 $x=x_0$。 计算距离：焦点到直线 $AB$ 的距离即为两点横坐标之差的绝对值。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定焦点坐标： 已知抛物线方程为 $y^2=4x$，对应标准方程 $y^2=2px$， 则 $2p=4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$。 故该抛物线的焦点为 $F(1,0)$。

2. 确定弦 $AB$ 的位置： 因为弦 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，根据抛物线的对称性可知， $x$ 轴垂直平分线段 $AB$。 已知 $AB=4\sqrt{3}$，设直线 $AB$ 的方程为 $x=x_0$ ($x_0>0$)。 则 $A,B$ 两点的纵坐标分别为： $y_A=2\sqrt{3},y_B=-2\sqrt{3}$

3. 求解直线 $AB$ 的横坐标： 将点 $A(x_0,2\sqrt{3})$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$ 中： $(2\sqrt{3}{)}^2=4x_0⟹12=4x_0⟹x_0=3$ 因此，直线 $AB$ 的方程为 $x=3$。

4. 计算焦点到直线 $AB$ 的距离： 焦点 $F$ 的横坐标为 $1$，直线 $AB$ 的横坐标为 $3$。 由于直线 $AB\perp x$ 轴，焦点到 $AB$ 的距离 $d$ 即为它们横坐标之差的绝对值： $d=|3-1|=2$

后答：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的简单几何性质（对称性、焦点坐标），垂直于轴的弦（通径的推广）的坐标计算。
2. 核心方法：代数坐标化归法。
3. 避坑指南：
   • 在求焦点坐标时，避免将 $y^2=4x$ 中的 $4$ 直接当成焦点横坐标，务必记得焦点横坐标是 $\frac{p}{2}$。
   • 区分“焦点到准线的距离（$p$）”与“焦点到垂直于轴的弦的距离（$|x_0-\frac{p}{2}|$）”，本题要求的是后者。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块的入门级基础填空题，取材于高中解析几何教材中“抛物线的简单几何性质”一节的课后例题与基础概念练习。
2. 结论推广：对于抛物线 $y^2=2px$，若一条垂直于对称轴的弦长为 $L$，则该弦所在直线的横坐标为 $x_0=\frac{L^2}{8p}$。焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 到该弦的距离公式可一般化推广为： $d=\left|\frac{L^2}{8p}-\frac{p}{2}\right|$ 本题中 $L=4\sqrt{3},p=2$，代入推广公式直接口算得： $d=\left|\frac{48}{16}-1\right|=|3-1|=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 1989-广东理-08 单-抛物线的标准方程