1993-旧高考理-04 单-复数的乘方运算

本题导读

本题考查复数的幂运算，以及复数的代数形式与三角形式。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 当 $z=-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$ 时， $z^{100}+z^{50}+1$ 的值等于 ()

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. $\mathrm{i}$　　　　　　　D. $-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

基础降幂计算：直接求 100 次方较为繁琐，优先计算 $z^2$ 的代数结果。 提取周期规律：利用分式代数展开，发现 $z^2=\mathrm{i}$。 指数幂代换求解：将目标多项式中的 $z^{100}$ 和 $z^{50}$ 分别改写为 $(z^2{)}^{50}$ 和 $(z^2{)}^{25}$，代入 $\mathrm{i}$ 并根据 $\mathrm{i}$ 的四次周期律求值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（代数平方降幂法）： 已知复数 $z=-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$，对其进行平方运算： $z^2={\left(-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{(1-\mathrm{i}{)}^2}{2}$

利用完全平方公式展开分子： $(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2$ 因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，所以： $(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i}$

代回 $z^2$ 的表达式中： $z^2=\frac{-2\mathrm{i}}{2}=-\mathrm{i}$

接下来，将目标多项式 $z^{100}+z^{50}+1$ 用 $z^2$ 进行整体指数代换：

• $z^{50}=(z^2{)}^{25}=(-\mathrm{i}{)}^{25}=-({\mathrm{i}}^{25})$
• $z^{100}=(z^2{)}^{50}=(-\mathrm{i}{)}^{50}={\mathrm{i}}^{50}$

利用虚数单位 $\mathrm{i}$ 的四次幂周期律（${\mathrm{i}}^{4k+r}={\mathrm{i}}^r$）化简高次幂：

• ${\mathrm{i}}^{25}={\mathrm{i}}^{4\times 6+1}={\mathrm{i}}^1=\mathrm{i}⟹z^{50}=-\mathrm{i}$
• ${\mathrm{i}}^{50}={\mathrm{i}}^{4\times 12+2}={\mathrm{i}}^2=-1⟹z^{100}=-1$

将化简后的两项数值代入目标多项式中： $z^{100}+z^{50}+1=(-1)+(-\mathrm{i})+1=-\mathrm{i}$

故选 D

方法二（棣莫弗定理/三角形式法）： 将 $z=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}$ 化为三角形式，其模长为 1，幅角为 $\frac{3\pi }{4}$： $z=\cos \frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{4}$

根据棣莫弗定理 $z^n=\cos (n\theta )+\mathrm{i}\sin (n\theta )$，直接求高次幂：

• $z^{50}=\cos \left(50\times \frac{3\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(50\times \frac{3\pi }{4}\right)=\cos \frac{75\pi }{2}+\mathrm{i}\sin \frac{75\pi }{2}$ 由于 $\frac{75\pi }{2}=36\pi +\frac{3\pi }{2}$，利用诱导公式得： $z^{50}=\cos \frac{3\pi }{2}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{2}=0+\mathrm{i}(-1)=-\mathrm{i}$
• $z^{100}=(z^{50}{)}^2=(-\mathrm{i}{)}^2=-1$

代入求和同样得： $z^{100}+z^{50}+1=-1-\mathrm{i}+1=-\mathrm{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：重要复数恒等式 $(1\pm \mathrm{i}{)}^2=\pm 2\mathrm{i}$ 的熟练应用， 虚数单位的周期性规律。
2. 核心方法：整体降幂换元法、欧拉公式/三角形式转换。
3. 避坑指南：在计算 $z^{50}=(-\mathrm{i}{)}^{25}$ 时，负号位于奇数次幂括号内，提取出来仍为负数，即 $-({\mathrm{i}}^{25})=-\mathrm{i}$；而计算 $z^{100}=(-\mathrm{i}{)}^{50}$ 时，负号位于偶数次幂括号内，变为正数，即 ${\mathrm{i}}^{50}=-1$。此处极易因为负号的去留发生符号失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数运算板块的经典高频考题。取材于高中代数教材中“复数的乘方与综合运算”一节的课后提能例题。
2. 结论推广：本题中的复数 $z=-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$ 是单位圆上的 8 次单位根之一（满足 $z^8=1$）。由于 $z^8=1$，其高次幂运算规律满足以 8 为周期的循环结构。直接用 $100÷8=12\dots 4⟹z^{100}=z^4=(-1{)}^2=-1$， $50÷8=6\dots 2⟹z^{50}=z^2=-\mathrm{i}$，能更具本源性地快速锁解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式