1992-上海-14 单-周期与奇偶性

本题导读

本题考查三角函数的周期与奇偶性，以及万能公式。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 下列函数中，最小正周期为 $\pi$ 的偶函数是()

A. $y=\sin 2x$　　B. $y=\cos \frac{x}{2}$

C. $y=\sin 2x+\cos 2x$　　D. $y=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$

🔍【思路分析】

破题导航

逐项判断周期与奇偶性。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

逐项检验：$y=\tan x$ 周期 $\pi$ 但是奇函数；$y=\sin 2x$ 周期 $\pi$ 但是奇函数；$y=\frac{1+{\tan }^{2}x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{1}{\cos 2x}$ 周期 $\pi$ 且是偶函数；$y=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}=\cos 2x$ 周期 $\pi$ 且是偶函数。综合选项，最小正周期为 $\pi$ 的偶函数为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期与奇偶性

核心方法：$y=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}=\cos 2x$，周期 $\pi$ 的偶函数

避坑指南：万能公式化余弦

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的周期与奇偶性

结论推广：万能公式 $\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}=\cos 2x$

方法推广：万能公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1995-上海文-01 单-正弦函数平方的奇偶性与周期性
• 1994-上海-10 填-三角函数的最小正周期
• 1993-新高考文-01 单-三角函数的最小正周期