1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质

本题导读

本题考查三角函数的二倍角公式，以及正弦函数的周期性。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 函数 $y=\sqrt{2}\sin 2x\cos 2x$ 是 ()

A. 周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数　　　　　　　　　　B. 周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数

C. 周期为 $\frac{\pi }{4}$ 的奇函数　　　　　　　　　　D. 周期为 $\frac{\pi }{4}$ 的偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析式降幂化简：
   • 观察已知函数 $y=\sqrt{2}\sin 2x\cos 2x$ 包含相同辐角的正弦与余弦乘积。
   • 联想正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，得 $\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$。
   • 将 $\theta =2x$ 代入，将解析式化简为标准型 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$。
2. 核算最小正周期 $T$：
   • 提取化简后正弦函数的角频率 $\omega$。
   • 利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算该函数的最小正周期。
3. 判定函数的奇偶性：
   • 依据定义，通过检验 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的代数关系判断函数属于奇函数还是偶函数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 由正弦二倍角公式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$，得 $y=\sqrt{2}\sin 2x\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\sin 2x\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 4x$。 于是函数的角频率为 $\omega =4$，故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。 又 $f(-x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (-4x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 4x=-f(x)$，故该函数为奇函数。 综上，该函数是周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数。 分析选项： A 选项：周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数，正确； B 选项：周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数，错误； C 选项：周期为 $\frac{\pi }{4}$ 的奇函数，错误； D 选项：周期为 $\frac{\pi }{4}$ 的偶函数，错误。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辐角倍增：$\sin 2x\cos 2x$ 用二倍角公式后辐角变为 $2\times 2x=4x$，周期是 $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，不要误记成 $\sin 2x$ 或 ${\sin }^{2}2x$ 而把周期算错。
• 奇偶性判断：$\sin (-4x)=-\sin 4x$，所以是奇函数，不要与偶函数混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材正弦二倍角公式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 与 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期、奇偶性，考查三角恒等变换与图象性质的综合运用。

2. 结论推广：$y=\sin (\omega x)\cos (\omega x)=\frac{1}{2}\sin (2\omega x)$，它是奇函数，最小正周期为 $\frac{\pi }{|\omega |}$。

3. 方法推广：判断三角函数的周期与奇偶性，先用倍角公式把解析式化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的标准形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-04 单-二倍角与函数性质
• 1992-上海-14 单-周期与奇偶性
• 1986-上海文-04 单-正切函数的周期